Пример определения проходных сечений сопла Лаваля с помощью таблиц газодинамических функций.

ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Газодинамические функции параметров торможения τ(λ), π(λ), ε(λ).

Зависимости между истинными параметрами состояния газа и параметрами торможения (далее по тексту отмечены «звездочкой») приобретают особенно удобный для расчетов вид, если их представить с помощью безразмерных скоростей М и λ . Для того чтобы получить эти зависимости, определим сначала отношения температур Т^*/Т и обратную величину Т/Т^*

Отношения давлений и плотностей можно выразить с помощью уравнений изоэнтропного процесса (2.33)[1] через температуры. Тогда

(2.56)

(2.57)

(2.58)

(2.59)

(2.60)

(2.61)

Величины τ(λ), π(λ), и ε(λ) называются газодинамическими функциями параметров торможения. Они заранее рассчитываются для всех значений приведенной скорости λ (или М) и сводятся в таблицы газодинамических функций. Последние составляются для различных значений показателя изоэнтропы k , соответствующих разным газам.

Для воздуха (при k = 1,4) формулы, связывающие истинные параметры состояния с параметрами торможения, принимают следующий вид:

(2.62)

(2.63)

(2.64)

(2.65)

(2.66)

(2.67)

þH

Пример расчета с помощью газодинамических функций параметров торможения

В потоке воздуха были измерены:

давление и температура торможения - р*= 143000 н/м², Т* = 324 ^о К,

статическое давление - р = 101300 н/м² (нормальное атмосферное или барометрическое давление В = 760 мм рт ст).

Определить w (скорость потока).

1) Вычисляем .

2) Определяем критическую скорость

м/сек.

3) По таблицам газодинамических функций для воздуха (k=1,4)

по величине π(λ) =0,7085

находим λ=0,75 .

4) Определяем скорость w = λ a _кр = 0,75∙329,6 = 247,2 м/сек.

Как видно из приведенного примера, весь расчет сводится к очень простым операциям.

Таблицы газодинамических функций были особенно эффективны при массовых расчетах в “докомпьютерную” эпоху.

***

Газодинамические функции потока массы (расхода) q ( λ ) , y( λ )

В практических расчетах площадь поперечного сечения потока F и плотность тока рw удобно относить к соответствующим величинам, взятым в критическом сечении. Если, например, рассматривать сопло Лаваля, то уравнение неразрывности можно записать, приравняв расход в любом сечении расходу в критическом сечении

ρ wF = ρ _кр а_кр F _кр,

в следующем виде:

(2.78)

Левая часть этого равенства — безразмерная плотность тока — называется приведенным расходом или коэффициентом расхода. Она обозначается q ( λ ), т.е.

(2.79)

Плотность тока рw характеризует расход газа через единицу поверхности или площади поперечного сечения. Приведенный расход представляет собой расход через единицу площади, отнесенный к расходу через единицу площади в критическом сечении. Эта величина является функцией только приведенной скорости λ и показателя изоэнтропы k .

Действительно, принимая во внимание формулы (2.61) и (2.45)[2], можно написать

или

(2.80)

По формуле (2.80) легко определяются три характерные точки:

λ =0 q( λ )=0,

λ =1 q( λ )=1,

λ = q( λ )=0.

Промежуточные значения получаются численным расчетом. График зависимости приведенного расхода от приведенной скорости представлен на рис. 23.

Наибольшая величина q( λ )=1 получается, как видим, при λ =1 . Следовательно, наибольшую плотность тока газ имеет в критическом сечении. При λ <1 расход уменьшается за счет уменьшения скорости, а при λ >1 — за счет уменьшения плотности газа.

Рассматривая график на рис. 23 и формулу (2.78), легко уяснить, почему сопло Лаваля имеет такую форму. Постоянство расхода требует того, чтобы площадь канала уменьшалась в тех местах, где возрастает плотность тока, и увеличивалась там, где плотность тока падает. В том сечении, где плотность тока проходит через максимум, канал должен иметь горло. Заметим, кстати, что одной из причин невозможности достижения максимальной скорости потока является то обстоятельство, что при w=w_max, т.е. при λ = , приведенный расход q( λ )=0 , следовательно, площадь поперечного сечения должна была бы равняться бесконечности. Поскольку в критическом сечении плотность тока достигает максимума, то максимально возможный расход через сопло Лаваля определяется площадью горла.

С помощью функции q( λ ) удобно вычислять массовый расход в любом сечении потока. Он записывается так:

Принимая во внимание формулы (2.79), (2.45), (2.46), а также уравнение состояния совершенного газа (p= r RT), можно предыдущее выражение представить в следующем виде:

Величина

для данного газа постоянна.

Для воздуха она равна ( k = 1,4; R = 287,4 дж/кг град) — m = 0,04037.

Окончательно формула расхода приобретает вид

(2.81)

Часто известной величиной бывает не р* , а статическое давление р .

Так как

то

Отношение для данного газа является функцией только приведенной скорости λ и обозначается y( λ ). Действительно:

т.е.

(2.82)

Тогда

(2.83)

При вычислении расхода газа через сопло Лаваля или другой канал, в котором имеется критическое сечение, расчет ведется по параметрам в этом сечении. Так как в этом месте q(λ)=1, то расчетная формула имеет вид

(2.84)

Пример определения проходных сечений сопла Лаваля с помощью таблиц газодинамических функций.

3адано:

расход газа m _сек = 10 кг/сек;

физичеcкие константы воздуха k=1,4; R=287,4 дж/кг град,

параметры перед соплом и за ним:

p ₁ * =37,24

p ₂ * = 1,013

T ₁ * =324° K .

Определить:

скорость истечения w₂,

площадь поперечного сечения в горле F_Г,

площадь поперечного сечения на выходе F₂ .

Рассчитывается идеальный случай — энергоизолированное изоэнтропное течение, в котором соблюдаются условия постоянства давления и температуры заторможенного потока:

Т ₁ *= Т_Г * = Т ₂ * = Т *= const,

р ₁ *= р_Г * = р ₂ * = р *= const.