Возведение комплексного числа в натуральную степень
Возведение в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:
В результате получается формула Муавра:
Формула Муавра,(9)
то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример
Вычислить (1 + i)10.
Решение:
Замечания
1. При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов 
за пределами одного полного оборота. Но их всегда можно свести к углам 
или 
сбрасыванием целого числа полных оборотов по свойствам периодичности функций 
и 
.
2. Значение 
называют главным значением аргумента комплексного числа 
;
при этом значения всех возможных углов обозначают 
;
очевидно, что 
, 
.
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Корнем степени n из комплексного числа z, где 
N, называется комплексное число w, такое что w n = z 
.
Примеры
, так как 
;
, так как 
;
или 
, так как 
и 
.
Из определения очевидно следует, что операция извлечения корня из комплексного числа является многозначной.
Если использовать формулу Муавра, то нетрудно доказать следующее утверждение:
существует при "z и если z ¹ 0, то имеет n различных значений, вычисляемых по формуле
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа ,(10)
|
|
|
где 
,
— арифметический корень на 
.
Все значения 
расположены регулярным образом на окружности радиусом с начальным углом 
и углом регулярности 
.
Примеры
1) 
, k = 0, 1, 2 Þ
Þ 
,
,
.
Ответ: 
2) 
, 
.
4) Формулы Эйлера . Формула Муавра
Используем определение 
Þ 
,
так как 
, 
.
Из этих равенств следуют формулы Эйлера
Формулы Эйлера(11)
по которым тригонометрические функции 
и 
действительной переменной 
выражаются через показательную функцию (экспоненту) с чисто мнимым показателем.
Формула Муавра,(12)
Рациональные функции
1.Рациональные дроби. Теорема Безу
Определение. Функция вида f ( x ) 
называется целой рациональной функцией от х.
Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)
При делении многочлена f ( x ) на разность x – a получается остаток, равный f ( a ).
Доказательство. При делении многочлена f ( x ) на разность x – a частным будет многочлен f 1 ( x ) степенина единицу меньшей, чем f ( x ), а остатком – постоянное число R.
Переходя к пределу при х ® a , получаем f ( a ) = R .
Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f ( a ) = 0, то многочлен f ( x ) делится на (х – а) без остатка.
|
|
|
Определение. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n.
Теорема. (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная функция f ( x ) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.
Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида ( x – a ) и множитель, равный коэффициенту при xn .
Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.
Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:
ki - кратность соответствующего корня.
Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).
Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.
| 2. О кратных и комплексных корнях многочлена | ||||||
Если в разложении многочлена  на множители (4) некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид:
При этом
Например, многочлен Имеет место теорема: всякий многочлен n–ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных). Теорема (без доказательства). Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень Итак, в разложении (4) многочлена на множители комплексные корни входят попарно сопряженными. Перемножив линейные множители где Если корень Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители согласно формуле где
| ||||||
| 3. Разложение правильных рациональных дробей на простейшие | ||||||
Рассмотрим рациональную дробь  , где  и  –многочлены с действительными коэффициентами. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена меньше степени многочлена .
Если рациональная дробь является неправильной, то произведя деление на по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде  где   –некоторые многочлены, а  –правильная рациональная дробь.
Правильные рациональные дроби вида
 , где k–целое положительное число ≥2, дискриминант квадратного трехчлена  отрицателен, называются простейшими дробями I, II, III и IV типов.
Правильную рациональную дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих корней, то есть дробь несократимую можно разложить на сумму простейших дробей.
Здесь имеют место три случая.
1.Все корни многочлена , стоящего в знаменателе, действительны и различны, то есть  . Тогда можно разложить на n простейших дробей I типа:
2.Все корни многочлена
3.Среди корней знаменателя правильной рациональной дроби имеются комплексно сопряженные не повторяющиеся, то есть Тогда дробь
|
. В этом случае корни 
называются корнями кратности 
соответственно.
. Корень 
–двукратный корень этого многочлена, 
–простой корень.
, то он имеет и сопряженный корень 
.
и 
, соответствующие паре комплексно сопряженных корней, получим квадратный трехчлен с действительными коэффициентами: 
–действительные числа.
входят множители 
, то есть множители 
.
,
. Тогда рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей I и II типов:
(8)
.
знаменателя:
2.Простейшие дроби
Правильная рациональная алгебраическая дробь Q(x)P(x) называется простейшей, если ее знаменатель Q(x) является натуральной степенью некоторого неприводимого многочлена q(x):
Q(x)=q k(x),(k≥1),
а степень числителя P(x) меньше степени многочлена q(x). Напомним, что среди многочленов с действительными коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице, неприводимыми являются лишь линейные многочлены x−c и квадратные многочлены x2+px+q при условии, что коэффициенты квадратного трехчлена удовлетворяют неравенству p2−4q<0 .
Вследствие этого рациональная алгебраическая дробь может быть простейшей лишь в случаях, когда ее числитель P(x) - либо многочлен первой степени, либо многочлен нулевой степени (т.е. число не равное нулю).
Пример. Дробь x−1(x2+1)k (k - натуральное) будет простейшей рациональной алгебраической дробью, так как ее знаменатель является степенью неприводимого многочлена , а степень неприводимого многочлена больше степени числителя.
В теории рациональных алгебраических дробей центральное место занимает следующая теорема:
Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей, и это разложение единственно.
Точнее, если дана правильная дробь Q(x)P(x), знаменатель которой имеет разложение на неприводимые множители:
Q(x)=q1k1(x)q2k2(x)...q lk l(x), причем q i(x)/=q j(x) при i/=j и k1,k2,...,k l - натуральные числа, то
Q(x)P(x)=p1(x)q1k1(x)+p2(x)q2k2(x)+...+p l(x)q lk l(x),
где все слагаемые в правой части - правильные дроби, каждая из которых может быть представлена в виде суммы простейших дробей:
p(x)q k(x)=q k(x)S k(x)+q k−1(x)S k−1(x)+...+q2(x)S2(x)+q(x)S1(x).
Степени всех числителей, стоящих в правой части этого разложения, меньше степени многочлена q(x).
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 88; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!