Напряжения и деформации при кручении вала

Техническая механика. ТЭЖД. (2 семестр).

Урок № 3 – 4 Тема: «Кручение. Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге. Модуль сдвига».

«Эпюры крутящихся моментов. Кручение бруса круглого поперечного сечения».

 

КРУЧЕНИЕ

Чистый сдвиг
Экспериментально чистый сдвиг может быть осуществлен при кручении тонкостенной трубы (рис. 79, а), поэтому деформация чистого сдвига отнесена к теме «кручение».

Рассмотрим элемент abcd, вырезанный из тонкостенной трубы (рис. 79, б).

При возникновении касательных напряжений элемент перекашивается. Если считать грань ad
закрепленной, то грань bс сдвинется в положение b₁c₁. Прямые углы между гранями изменяются на величину γ. Угол γ , представляющий собой изменение первоначально прямого угла между гранями элементарного параллелепипеда, называется углом сдвига.

Касательные напряжения τ и угол сдвига γ, называемый также относительным сдвигом, связаны прямой пропорциональностью, то есть законом Гука:

Входящая в эту формулу величина G называется модулем сдвига. Эта величина характеризует жесткость материала при деформации сдвига. Так как γ выражается отвлеченным числом, то модуль сдвига G, как и модуль продольной упругости Е, имеет ту же единицу измерения, что и напряжение: МПа, Н/мм², кгс/см².
Между модулем упругости Е и модулем сдвига G существует зависимость, которую приводим без вывода:

где μ — коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

Для стали μ = 0,25; G = 0,4 Е = 0,4^.2^.10⁵ = 8^.10⁴ МПа. Приведенные соотношения между G и Е подтверждаются опытами.
Основные понятия. Эпюры крутящих моментов
На кручение обычно работают брусья круглого поперечного сечения, например валы и витки цилиндрических пружин.
Кручение возникает при нагружении бруса парами сил, расположенными в плоскостях, перпендикулярных продольной оси бруса (рис. 80).

Моменты этих пар M_вр называют вращающими моментами. Их алгебраическая сумма равна нулю, если вал находится в равновесии и вращается равномерно. Величину вращающего момента М_вр можно вычислить по передаваемой мощности Р и частоте вращения n:

Эта формула дает величину момента в Н^.м, если мощность выражена в Вт, а частота в об/мин.

Момент внутренних сил относительно продольной оси бруса называют крутящим моментом М_к. При кручении в поперечных сечениях бруса возникает один внутренний силовой фактор — крутящий момент М_к. Он определяется при помощи метода сечений.
Когда вращение от двигателя передается при помощи передаточного вала нескольким рабочим машинам, крутящий момент не остается постоянным по длине вала. Характер изменения крутящего момента по длине вала наиболее наглядно может быть представлен эпюрой крутящих моментов. Рассмотрим построение такой эпюры для вала, на котором закреплено несколько шкивов (рис. 81, а); шкив I получает вращение от двигателя, шкивы II, III и IV передают его станкам. Моменты, передаваемые каждым шкивом на вал, вычисляют по формуле (65). Направление момента М₁ противоположно направлению моментов М₂, М₃ и M₄. При установившемся движении (равномерном вращении вала), пренебрегая трением в подшипниках, получаем из условия равновесия вала:

Крутящий момент изменяется в сечениях вала, передающих внешние моменты от шкивов. Разделим вал на три участка (рис. 81, а) и определим крутящие моменты в поперечных сечениях каждого из них. Крутящий момент в любом поперечном сечении первого участка между шкивами II и I уравновешивает момент внешней пары М_к1, действующий на левую отсеченную часть, т. е,

М_{к 1} = М₂.

При рассмотрении правой части из условия ее равновесия мы получили бы, естественно, тот же результат:

M_K1 = М₁ – М₃ – М ₄ = М₂

Аналогично вычисляется крутящий момент в поперечных сечениях на втором участке вала между шкивами I и III

М_к2 = М₂ – М₁ = – М₃ – М₄ ,

а на третьем участке между шкивами III и IV

M _к3 = М₂ – M ₁ + М₃ = – М₄.

Итак, крутящий момент в каком-либо поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме моментов внешних пар, действующих на вал в плоскостях, перпендикулярных оси вала, и приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. Эпюру крутящих моментов строят аналогично эпюре продольных сил, откладывая от горизонтали (рис. 81, б) ординаты, пропорциональные крутящим моментам в поперечных сечениях соответству­ющих участков вала.

 

Знак крутящего момента в поперечном сечении вала определяется исходя из направления внешних моментов. Крутящий момент положителен, когда внешние моменты вращают отсеченную часть по часовой стрелке, если смотреть со стороны проведенного сечения.

Положительные ординаты эпюры крутящих моментов откладывают вверх, отрицательные — вниз от горизонтальной линии, называемой осыо, или базой, эпюры.

Пример 16. Построить эпюру крутящих моментов для вала по рис. 82, а, если шкив получает от двигателя мощность Р₁ = 52 кВт при частоте вращении вала n = 240 об/мин, а шкивы II, III и IV соответственно снимают мощ­ности Р₂ = 15 кВт, Р₃ = 17 кВт, Р₄= 20 кВт.

Р е ш ение. По формуле (62) вычисляем значения моментов, передаваемых шкивами. Момент, передаваемый шкивом I, равен

М₁ = 9,55 Р₁ / n = 9,55 ^. 52000 / 240 = 2067 Н м.

Моменты, передаваемые остальными шкивами:

 

М₂ = 9,55 15000 / 240 = 596 Н м;

М₃ = 9,55 ^.17000 / 240 = 675 Н м;

М₄ = 9,55 ^.20000 / 240 = 796 Н м;

Следует учесть, что согласно условию равновесия, пренебрегая трением в подшипниках, имеем:

∑ М_iz = 0; M₁ = M₂ + M₃ + M₄,

или

2067 = 596 + 675 + 796.

Разобьем вал на три участка (рис. 82, а) и приступим к построению эпюры крутящих моментов. Проведем поперечное сечение на первом участке между шкивами I и II и рассмотрим действие правой отброшенной части на левую часть. Слева в проведенном сечении возникает крутящий момент

M_к1 = М₁ = 2067 Н м,

то же значение получим при рассмотрении действия левой части на правую часть.

 

 

Аналогично находим крутящий момент на первом участке между шкивами II и III:

М_к2 = М₁ – М ₂ = 2067 – 596 = 1471 Нм,

и на третьем участке между шкивами III и IV:

М_к3 = М₁ – М ₂ – М ₃ = 2067 – 596 = 796 Нм.

На рис. 82, б по вычисленным значениям М_к построена эпюра крутящих моментов.

Упражнение 21

1.
Вал вращается равномерно (рис 83), вращающий момент на ведущем шкиве М₁ = 5000 Н м. Определите величину и направление момента М₂ на ведомом шкиве. Постройте эпюру крутящих моментов.

2.
Укажите, какие участки вала (рис. 83) испытывают деформацию кручения.

А. Все участки вала.

Б. Только участок вала между шкивами.

3 На рис. 81 показана эпюра крутящих моментов. Чему равна максимальная величина крутящего момента, по которому нужно рассчитывать вал на прочность?

А. 2000 Н м. Б. 1500 Н м.

 

4.
На эпюре крутящих моментов (рис. 84) отмечены точки А, В, С, D, соответствующие сечениям вала, где установлены шкивы. Укажите, какая точка соответствует сечению, где установлен ведущий шкив, и чему равен вращающий момент на этом шкиве?

5.
Какое расположение ведущего шкива более рационально; по схеме рис. 81, а или рис. 82, «?

А. Расположение ведущего шкива по схеме рис. 81, а.

Б. Расположение ведущего шкива по схеме рис. 82, а.

 

А. В сечении В; максимальный вращающий момент 1500 Н м.

Б.В сечении С; максимальный вращающий момент 1500 Нм.

В. В сечении С; максимальный вращающий момент 2000 Н м.

 

Напряжения и деформации при кручении вала

Выведем формулы для определения деформации и напряжений, возникающих при кручении валов. Для наиболее часто встречающихся валов круглого и кольцевого сечения при кручении поперечные сечения сохраняют плоскую форму, а радиусы этих сечении, поворачиваясь, не искривляются.

Приведенный ниже вывод базируется на этих предположениях и справедлив, соответственно, только для валов круглого и кольцевого сечения. Рассмотрим элемент вала (рис. 85, а) длиной l, причем крайнее левое сечение этого элемента будем считать условно неподвижным, что эквивалентно определению перемещений относительно этого сечения. Нетрудно показать, что рассматриваемый элемент испытывает деформацию сдвига. Действительно, любая образующая наружная АВ или внутренняя ЕС смещается при кручении и возникают перекосы, определяемые углами сдвига γ_mах для образующей АВ или γ для образующей ЕС (рис. 85, а). При этом радиус крайнего правого сечения ОВ поворачивается в положение ОВ₁ на некоторый угол φ, называемый углом закручивания. Учитывая малость деформаций и выражая ВВ₁ и СС₁ как дуги окружностей, легко определить соотношения между углом сдвига γ_mах или γ и углом закручивания φ:

ВВ₁ = γ_mах ^. l = φr; СС₁ = γ ^. l = φρ,

откуда

γ_mах = φr / l; (66)

γ = φρ / l; (67)

Выражая из уравнения (66) φ / l через γ_mах и подставляя это значение в уравнение (67), получаем:

φ / l = γ_mах / r; γ = γ_mах ρ / r. (68)

 

Таким образом, угол сдвига в поперечном сечении прямо пропорционален расстоянию от оси вала ρ. Величина φ / l, определяющая относительный угол закручивания или угол на единицу

длины, для каждого сечения вала является постоянной, так как выражается через постоянную значения γ_mах и r .

Сдвиг отдельных элементов вала сопровождается возникновением в его поперечных сечениях касательных напряжений, которые могут быть определены по закону Гука для сдвига:

τ = G γ = Gγ_max ρ / r и τ_max = G γ_max при ρ = r

или

τ = τ_max ρ / r,

т. е. касательные напряжения в поперечном сечении меняются по длине радиуса по линейному закону. Сдвиг в поперечных сечениях при кручении происходит по направлению касательных к окружностям, поэтому направление касательного напряжения в какой-либо точке сечения перпендикулярно к соответствующему радиусу (рис. 85, б).

Зная закон распределения касательных напряжений но поперечному сечению бруса, можно определить их величину в зависимости от крутящего момента, возникающего в данном поперечном сечении.

Если d А — площадь элементарной площадки (см. рис. 85, б), то элементарная внутренняя сила на этой площадке, -

расположенной на расстоянии ρ от оси бруса, τdA, а ее момент относительно оси бруса равен τdAρ.

Сумма моментов всех элементарных внутренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении, представляет собой крутящий момент Мк в данном сечении и определяется интегралом, взятым по всей площади

 

Выражая τ через τ_mах, а именно τ = τ_mах ρ/г и вынося затем постоянный множитель τ_mах ρ/г за знак интеграла, получаем

 

.

Интеграл , как известно из предыдущего, представляет собой полярный момент инерции сечения

 

Таким образом, , откуда

 

и соответственно
Выведенная формула определяет касательное напряжение в любой точке поперечного сечения при кручении вала круглого поперечного сечения. Напряжения в точках, близких к оси вала, малы, поэтому для уменьшения его массы иногда удаляют внутреннюю часть и делают его полым — с кольцевым сечением. Наибольшего значения достигают напряжения в поперечном сечении в точках у поверхности, т. е. в точках, наиболее удаленных от его оси. Формулу (69) для τ_mах можно представить в виде

Отношение J_p/r = W_p называют полярным моментом сопро­тивления сечения.

Полярный момент сопротивления круга вычислим, разделив величину Jp на радиус г = 0,5d,

Аналогично для кольцевого сечения

где α = dв / dн.

Определим угол закручивания бруса, изображенного на рис. 85, а. Исходя из уравнений

γ_mах = φг/1 и τ_mах = Gγ_max, находим

Подставляя τ_mах = М_к r / J_p, окончательно получаем

 

Величина угла φ выражается в радианах. Угол поворота по формуле (74) можно определять лишь для участка бруса, имеющего постоянное поперечное сечение, при условии, что крутящий момент по длине этого участка не изменяется.

Расчеты на прочность и жесткость при кручении
Прочность при кручении бруса круглого сплошного или кольцевого поперечного сечения определяется условием:

Формула (75) может служить основой для трех видов расчетов.

1. Проверка прочности (проверочный расчет), когда известны наибольший крутящий момент и размеры поперечного сечения вала. Расчет производится непосредственно по формуле (75).
2. Подбор сечения (проектный расчет). Решив неравенство (75) относительно Wp, получим формулу для определения полярного момента сопротивления, а значит диаметра вала, исходя из условия прочности

Требуемый диаметр вала при найденном значении Wp. определяется из формулы (72) или (73).
3. Определение допускаемого крутящего момента, когда известны размеры сечения вала и задано допускаемое напряжение,

Допускаемое напряжение для валов из сталей марок сталь 40 и сталь 45 принимается в пределах [τ_к] = 30-50 МПа.

Кроме соблюдения условия прочности при проектировании валов требуется, чтобы вал обладал достаточной жесткостью, т. е. чтобы угол закручивания не превосходил некоторой заданной величины. Так, в зубчатых передачах при значительных углах закручивания валов зубья колес перекашиваются. Следствием может быть выкрашивание поверхностей зубьев и поломка передачи, поэтому необходимая жесткость валов практически всегда должна быть обеспечена. Обозначив через θ угол закручивания единичной длины вала, можно составить расчетную формулу для проверки вала на жесткость:

 

В зависимости от назначения вала принимают [θ] = (0,45-l,75)^. 10^-2 рад/м, что соответствует [θ°] = (0,25-1,0) град/м.

Если вычислить относительный угол закручивания в градусах на 1 м длины вала, вместо формулы (78) получим

С помощью формул (78) и (79) решаются три задачи, аналогичные задачам расчета на прочность.

1. Проверка жесткости (проверочный расчет), когда заданы крутящий момент, размеры и материал вала, а также допускаемый угол закручивания.

2 Подбор сечения по условию жесткости (проектный расчет) Из неравенства (78) получим формулу для определения полярного момента инерции сечения вала, по условию жесткости

 

При найденном значении Jp диаметр вала определяют из формул (38) и (39).

3. Определение допускаемого крутящего момента по условию жесткости

Пример. По данным примера 16 определить диаметр вала, удовлетворяющий условиям прочности и жесткости на наиболее напряженном участке. Материал вала – сталь 40. Допускаемое напряжение на кручение [τ_к] = 30 МПа, допускаемый угол закручивания [θ°] = 1^.10^-2 рад/м = 10^.10^-5 рад/мм; модуль сдвига G = 8^.10⁴ Н/мм².
Решение. По эпюре крутящих моментов (см. рис. 82) видно, что наибольший крутящий момент Мк = 2067 Нм.
По условию прочности на кручение [см. формулу (76)] определяем:

Выражая полярный момент сопротивления через диаметр вала Wp ≈ 0,2d³, находим его значение

 

По условию жесткости [см. формулу (80)] определяем полярный момент инерции

 

С другой стороны, выражая полярный момент инерции через диаметр вала J_p = 0,1 d ⁴, находим его значение

 

Окончательно принимаем диаметр вала по условию жесткости

 

Пример 18. В поперечных сечениях стального вала возникает крутящий момент Мк = 2000 Нм. Диаметр вала d = 65 мм, модуль сдвига G = 0,8^.10⁵ Н/мм². Проверить прочность и жесткость вала, если допускаемое напряжение [τ_к] = 40 МПа, а допускаемый угол закручивания [6°] = 0,85 град/м.
Решение. Прочность вала проверяем по формуле (75)

где

 

Для проверки жесткости вычислим значение полярного момента инерции

 

Величину допускаемого угла закручивания переводим в радианы на 1 мм!

 

Подставив в формулу (78) значения J_p и [б], получим

 

Следовательно, в этом примере диаметр вала удовлетворяет и условию прочности, и условию жесткости.

 

---

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 179; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!