Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
График дифференцируемой функции 
называется выпуклым вниз на интервале 
, если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале.
График дифференцируемой функции называется выпуклым вверх на интервале , если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.
Точка графика функции, отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.
Интервалы выпуклости вверх и вниз находят с помощью следующей теоремы.
Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, т.е. 
, то график функции на этом интервале выпуклый вверх. Если же 
- график выпуклый вниз.
Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.
Если вторая производная 
при переходе через точку 
, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то эта точка - точка перегиба.
Пример. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции 
.
Решение: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
при 
и 
при 
.
Ответ: Следовательно, график функции на интервале 
- выпуклый вверх, на интервале 
- выпуклый вниз. Точка 
есть точка перегиба.
Асимптоты графика функции.
Асимптоты – это прямые, к которым неограниченно приближается график функции.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальная асимптота графика функции – это прямая 
. Обычно эти асимптоты
|
|
|
сопровождают точки разрыва. И если функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.
Наклонная асимптота графика функции – это прямая 
. Для нахождения 
используются следующие формулы: 
; 
.
Горизонтальная асимптота – это прямая 
, где 
.
Схема исследования функции.
1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).
2. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
3. Найти точки пересечения с осями координат.
4. Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции.
5. Найти асимптоты функции.
6. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
7. Построить график функции и асимптоты.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 100; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!