Сопоставление результатов расчета координат склада

Определение месторасположения склада

Для решения одной из фундаментальных логистических задач-определения месторасположения распределительного склада в регионе необходимо знать:

· месторасположение (координаты x_i, y_i) фирм-производителей и потребителей (клиентов) данной продукции;

· объемы поставок продукции (Q_i);

· маршруты доставки (характеристику транспортной сети);

· затраты (или тарифы) на транспортные услуги (T_i).

В зависимости от выбранного критерия оптимизации и учета расстояний между поставщиками, потребителями и складом рассматриваются следующие типовые случаи.

Первый вариант [25 и др.]. Месторасположение распределительного склада определяется в виде координат центра тяжести грузовых потоков по формулам:

,                                ( 8.1)

,                                (8.2)

где: A_x, A_y- координаты распределительного склада, км;

Q_i- объем (вес) груза, т;

x_i y_i- соответственно расстояние от начала осей координат до расположения поставщика или клиента, км.

Второй вариант [20]. Месторасположение склада определяется как «центр равновесной системы транспортных затрат». Расчет координат склада производится по формулам:

,                            ( 8.3)

,                           (8.4)

где T_i- транспортный тариф для i-го поставщика или потребителя (клиента), руб.\т.км.

Суммирование в формулах (8.1) - (8.4) производится от i = 1 до m, где m- общее количество поставщиков и потребителей.

Очевидно, что при T_i = const., формулы (8.1), (8.2) и (8.3), (8.4) совпадают.

С другой стороны, транспортные тарифы T_i в формуле (8.3), (8.4) играют роль весовых коэффициентов, которые могут принимать различные значения и , следовательно, расширяют возможности учета различных факторов по сравнению с формулами (8.1), (8.2). Однако, не следует забывать, что тарифы функционально связаны с грузооборотом (т.км) и объемом перевозок (т), поэтому их упрощенный учет в расчетных зависимостях требует дополнительного обоснования, либо введения более сложных зависимостей.

Рассмотрим пример расчета координат склада по первому и второму вариантам. Исходные данные о координатах расположения поставщиков П_i и клиентов К_i приведены в табл.8.1; также представлены вспомогательные расчеты. При подстановке значений в формулы (8.1),(8.2) находим

А_x =  км,

A_y =  км.

Второй вариант расчета, формулы (8.3), (8.4) дает

А_x =  км,

A_y =  км.

Приведенные на рис.8.1 местоположение складов показывают, что в данном конкретном случае их координаты различаются незначительно.

 

 

Таблица 8.1

Определение координат склада

 

Исходные данные				По формулам (8.1), (8.2)		По формулам (8.3), (8.4)
xi	yi	Ti	Qi	xiQi	yiQi	TixiQi	TiQi	TiyiQi
0	575	0,8	300	0	172500	0	240	138000
300	500	0,5	250	75000	125000	37500	125	62500
550	600	0,6	150	82500	90000	49500	90	54000
150	125	1	150	22500	18750	22500	150	18750
275	300	1	75	20625	22500	20625	75	22500
400	275	1	125	50000	34375	50000	125	34375
500	100	1	100	50000	10000	50000	100	10000
600	550	1	150	90000	82500	20000	150	82500
Суммы			1300	390625	555625	320125	1055	422625

 

 

0

Рис.8.1 Расположение поставщиков П, клиентов К и складов: С₁ - первый вариант; С₂ - второй вариант.

Третий вариант [23, 28]. Координаты склада определяются исходя из условия, что сумма расстояний от данных точек m с учетом спроса Q_i до точки (x , y)- координат склада- была минимальной. Целевая функция записывается в виде:

(8.5)

где a_i, b_i- координаты i-го поставщика или потребителя.

Принципиальное отличие третьего варианта заключается в том, что, во-первых, он сформулирован как классическая оптимизационная задача, во-вторых, расстояние между складом и другими объектами определяется как «гипотенуза», тогда как в задачах первом и втором вариантах рассматриваются расстояния по осям X и Y.

Для нахождения координат склада используется аналитический метод, согласно которому на первом этапе определяется система из 2-х уравнений в виде частных производных функций P ( x , y ).

;           (8.6)

 

Поскольку решение данной системы затруднено, на втором этапе используется итерационный метод. Так первое приближение для x⁽¹⁾ рассчитывается по формуле:

                             (8.7)

Входящее в формулу  определяется из уравнения

                           (8.8)

На третьем этапе значения x ⁽¹⁾ подставляется во второе уравнение системы (8.6) для частной производной по Y и находится первое приближение для y ⁽¹⁾. Затем y ⁽¹⁾ подставляется в уравнение для частной производной по X и находится второе приближение x ⁽²⁾ и т.д. до тех пор, пока разница итераций P ^{( k )} (x , y) и P ^{( k +1)} (x , y) не станет меньше достаточно малого положительного числа E.

Однако, попытка использовать описанный итерационный метод решения наталкивается на такие же трудности, как и аналитическое решение системы (8.6). Это нетрудно показать на следующем примере. Запишем в явном в виде первое уравнение системы (8.9).

          (8.9)

 

Допустим, что m =2, ax ⁽¹⁾ рассчитано по формуле (8.7)

Тогда, для нахождения y ⁽¹⁾ надо решить уравнение:

 (8.10)

После преобразований получим кубическое уравнение для определения y ⁽¹⁾: очевидно, что с увеличением m расчетные формулы усложняются, следовательно, использование итерационного подхода не упрощает поиск координат склада.

Рассмотрим подход, основанный на непосредственном поиске минимума функции (8.5). Исходные данные для расчетов приведена в табл.8.1.

Для примера рассчитаем величину транспортной работы при перевозках от производителей на склад и со склада клиентам, выбрав в качестве координат склада следующие значения:

x ₁ =250 км, y ₁ = 425 км. Тогда по формуле (8.5) для первого поставщика (а₁ = 300 км, в₁ = 575 км) находим:

т.км.

Результаты расчетов Р( x ₁ , y ₁ ) для всех поставщиков и клиентов приведены в табл. 8.2: Р( x ₁ , y ₁ )≈342 тыс.км

 

 

Таблица 8.2

Определение транспортной работы при координатах склада

х₁ = 250 км, у₁ = 425 км

 

Qi, Т	Координаты, км		км	QiRi, т.км.
	ai	bi
300	0	575	291	87300
250	300	500	90	22500
150	550	600	347	52050
150	150	125	316	47400
75	275	300	127	9525
125	400	275	212	26500
100	500	100	410	41000
150	600	550	371	55650
Сумма				341925

 

Расчеты были выполнены в виде трех блоков. В первый блок вошли расчеты для пяти точек (рис.8.2), координаты которых и результаты расчетов приведены в табл. 8.3.

Анализ результатов позволил выявить направление поиска координат склада (второй блок, три точки), изменив его вдоль координаты х = 300 км. Наконец, минимальное значение транспортной работы оказалось равным Р = 329950 т.км. (при принятом в расчетах шаге ∆ = 25 км), что соответствует координатам склада: х = 300 км; у = 500 км.

 

 

 

 

Рис.8.2 Графическая интерпретация поиска минимума функции P (x, y): 342(1) – транспортная работа в тыс.км (номер варианта расчета в табл.8.3)

Таблица 8.3

Определение координат склада (численный метод)

Расчетный блок	Вариант	Координаты склада		Р (х, у), т.км
		х	у
I	1	250	425	342200
	2	275	400	336170
	3*	300	425	334200
	4	275	450	333360
	5	275	425	336800
II	6	300	450	331700
	7	300	475	330030
	8	325	450	336100
III	9**	300	500	329950
	10	300	525	343400
Примечания:  * вариант, соответствующий координатам «центра тяжести»;                         ** минимальное значение Р (х, у) из приведенных в таблице.

Следует подчеркнуть, что разница значений Р (х, у) между 6 и 7 вариантами составляет 0,46%, а между 9 и 7 – 0,1%. С одной стороны это затрудняет поиск минимума функции Р(х, у), с другой стороны говорит о том, что минимум Р(х, у) при заданном выражении целевой функции соответствует область значений, незначительно отличающихся друг от друга. Таким образом, с небольшой погрешностью координаты склада могут быть выбраны внутри этой области, что позволяет учесть всевозможные и часто противоречивые ограничения: административные, правовые и т.п.

Заметим, что для поиска минимума Р(х, у) можно воспользоваться ускоренным алгоритмом, суть которого сводится к итерационному процессу расчета координат склада по формулам:

,             (8.11)

,                   (8.12)

где

                 (8.13)

Вывод зависимостей (8.11), (8.12) покажем на примере первой из них. За основу берутся частные производные dP ( x , y )/ dx и dP ( x , y )/ dy , см. формулу (8.6). После суммирования, находим

Решая уравнение относительно Х, получим формулу, представляющую собой итерационное выражение

(8.14)

 

Таблица 8.4

Определение координат склада (первая итерация ускоренного алгоритма)

 

Qi	ai	bi	(ai-300)2	(bi-425)2	Ri	Qi/Ri	Qiai/Ri	Qibi/Ri
300	0	575	90000	22500	335	0,895	0	515,9
250	300	500	0	5625	75	3,333	999,9	1666,5
150	550	600	62500	30625	305,2	0,491	270,3	294,6
150	150	125	22500	90000	335	0,448	67,2	56,0
75	275	300	625	15625	127,5	0,588	161,8	176,4
125	400	275	10000	22500	180,3	0,693	277,3	190,6
100	500	100	40000	105625	385,6	0,262	131,0	26,2
150	600	550	90000	15625	325	0,461	276,6	253,5
Суммы						7,171	2184,1	3179,9

 

Расчет начинается с первого шага при  и , определяемых по формулам (8.1), (8.2) для координат «центра тяжести»

При подстановке х₀ = 300 км, у₀ = 425 км по формулам (8.11), (8.12), рассчитываем значения сумм (табл.8.4) и находим первое приближение:

 = 303 км;           = =440 км

Второе приближение для координат склада:

 = 305 км;              = 460 км

Транспортная работа для второй итерации:

Р( , ) = 330 900 т.км.

В заключение сопоставим варианты расчетов координат склада при использовании различных подходов, табл.8.5

Транспортная работа рассчитывалась по формуле (8.5), исходные данные для расчета приведены в табл. 8.1.

 

 

Таблица 8.5

Сопоставление результатов расчета координат склада

 

Вариант расчета	Координаты склада, км		Р* (х, у), т.км.
	х	у
Формула (1)	300	427	334200*
Формула (2)	303	400	338250
Формула(3) - численный метод поиска минимума; - ускоренный алгоритм поиска, формулы (8.11), (8.12).	300   305	500   460	329950   330900
Примечание: при расчетах Р(x, y) координаты х, у округлены до значений кратных ∆ = 25 км.

 

Анализ результатов позволяет констатировать, что в рассматриваемом условном примере наблюдается незначительная разница значений транспортной работы, рассчитанной при различных подходах к определению координат склада, тогда как сами координаты, в частности по оси у, различаются существенно.

В работе [2] помимо приведенных формул даны итерационные зависимости для определения координат склада x и y по критерию «часы-тонны-километры», в котором помимо объемов перевозных грузов Q_i и расстояний R_ij учитывается время перевозки t_ij. Считается, что в этом случае координаты склада будут выбраны с минимальными издержками на транспортировку. Однако, данное утверждение требует, на наш взгляд, проведения соответствующих расчетов и сравнительного анализа с другими вариантами.

---

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 83; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!