Плотность суммы двух непрерывных случайных величин
Пусть x и h — независимые случайные величины с плотностями и . Плотность случайной величины x + h вычисляется по формуле свертки
Задача 8. Пусть x и h — независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром . Вычислить плотность суммы .
Решение. Так как x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны
Следовательно,
Поэтому
Если x<0, то в этой формуле аргумент у функции отрицателен, и потому . Поэтому Если же , то имеем:
Таким образом, мы получили ответ:
Задачи для самостоятельного решения
Теоретические задачи.
- Найти плотности распределения: а) суммы; б) разности; в) произведения; г) частного двух случайных величин, имеющих равномерное распределение на [0; а].
- Случайная величина x имеет нормальное распределение с параметрами а и s2. Показать, что величина нормально распределена с параметрами 0 и 1.
- Случайные величины x1 и x2 независимы и имеют нормальные распределения с параметрами а1, и а2, соответственно. Доказать, что x1 + x2 имеет нормальное распределение.
- Случайные величины x1, x2, ... xn распределены и независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения
.
Найти функцию распределения и плотность распределения величин:
а) h1 = min {x1 , x2, ...xn} ; б) h(2) = max {x1,x2, ... xn }
- Случайные величины x1, x2, ... xn независимы и равномерно распределены на отрезке [а, b]. Найти функции распределения и функции плотности распределения величин
x(1) = min {x1,x2, ... xn} и x(2)= max{x1, x2, ...xn}.
|
|
Доказать, что М .
- Случайная величина распределена по закону Коши Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения; в) вероятность попадания на интервал (-1, 1). Показать, что математическое ожидание x не существует.
- Случайная величина подчинена закону Лапласа с параметром l (l>0): Найти коэффициент а; построить графики плотности распределения и функции распределения; найти Mx и Dx; найти вероятности событий {|x|< и {çxç< }.
- Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т.е. график её плотности распределения имеет вид :
Написать формулу для плотности распределения, найти Мx и Dx.
Вычислительные задачи.
- Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния r точки до центра круга. Показать, что величина r2 равномерно распределена на отрезке [0, R2].
- Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность - Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность - Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность - Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), , дисперсию и вероятность - Случайная величина имеет функцию распределения
Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и вероятность - Проверить, что функция =
может быть функцией распределения случайной величины. Найти числовые характеристики этой величины: Mx и Dx. - Случайная величина равномерно распределена не отрезке [2 ; 6]. Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок [2, 5] и на отрезок [5; 7].
- Плотность распределения x равна
.
|
|
Найти постоянную с, плотность распределения h = и вероятность
Р (0,25<h<0,64).
- Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром l = 0,05 (отказа в час), т.е. имеет функцию плотности
р(х) = .
Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ни одного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача.
|
|
- Стержень длины 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня?
- Отрезок длины 12 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка?
- Случайная величина равномерно распределена на отрезке [1,3]. Найти плотность распределения случайной величины .
- Случайная величина равномерно распределена на отрезке [-1,1]. Найти плотность распределения случайной величины
- Случайная величина имеет функцию распределения
Найти функцию распределения случайной величины - Случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение (с параметрами а = 0 и s2 = 1). Найти плотность случайной величины .
- Случайная величина x имеет показательное распределение с параметром l. Найти функции плотности распределения случайных величин:
а) h1= lx ; б) h2 =x2; в) h3= г) .
|
|
- Случайная величина x равномерно распределена на отрезке [0, 1]. Найти плотности распределения случайных величин:
а) h1 = 2x + 1; б) h2 =-ln(1-x); в) h3 = .
- Показать, что если x имеет непрерывную функцию распределения
F(x) = P(x<x), то случайная величина h= F(x) имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1].
- Найти функцию плотности и функцию распределения суммы двух независимых величин x и h c равномерными законами распределения на отрезках [1, 3] и [0; 1] соответственно.
- Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках [0, 2] и [3,4] соответственно. Вычислить плотность суммы x+h.
- Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках [0, 4] и [1,2] соответственно. Вычислить плотность суммы x+h.
- Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках [1, 3] и [2,4] соответственно. Вычислить плотность суммы x+h.
- Случайные величины независимы и имеют показательное распределение с плотностью . Найти плотность распределения их суммы.
- Найти распределение суммы независимых случайных величин x и h, где x имеет равномерное на отрезке [0;1] распределение, а h имеет показательное распределение с параметром l.
- Найти Р , если x имеет: а) нормальное распределение с параметрами а и s2 ; б) показательное распределение с параметром l; в) равномерное распределение на отрезке [-1;1].
- Совместное распределение x, h является равномерным в квадрате
К ={х, у): |х| +|у|£ 2}. Найти вероятность . Являются ли x и h независимыми? - Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри треугольника K= . Вычислить плотность x и h. Являются ли эти случайные величины независимыми? Найти вероятность .
- Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках [0,1] и [-1,1]. Найти вероятность .
- Двумерная случайная величина (x, h) равномерно распределена в квадрате с вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Найти значение совместной функции распределения в точке (1, -1).
- Случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри круга радиуса 3 с центром в начале координат. Написать выражение для совместной плотности распределения. Определить, зависимы ли эти случайные величины. Вычислить вероятность .
- Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри трапеции с вершинами в точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Найти совместную плотность распределения для этой пары случайных величин и плотности составляющих. Зависимы ли x и h?
- Случайная пара (x, h) равномерно распределена внутри полукруга . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости.
- Совместная плотность двух случайных величин x и h равна .
Найти плотности x, h. Исследовать вопрос о зависимости x и h. - Случайная пара (x, h) равномерно распределена на множестве . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Найти М(xh).
- Случайные величины x и h независимы и распределены по показательному закону с параметром Найти
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 1778; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!