Формирование знаний учащихся о математических суждениях

Формирование математических понятий

Def ₄ . Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные (с точки зрения цели изучения) свойства изучаемых объектов.

В дидактике и психологии процесс формирования понятий описывается схемой Джона Локка (схема 1). Схема показывает, что для формирования понятий учащиеся должны быть включены в следующие последовательные виды деятельности:

1) Восприятие объектов, явлений или процессов реальной действительности.

2) Описание свойств этих объектов Процессов.

3) Сопоставление выделенных свойств.

4) Объединение всех объектов обладающими тем же свойствами в понятие.

Пунк 7.2 и пункт 7.3

Схема 1. Формирования понятий (по Д. Локку).

Задание 1. Опишите виды заданий, которые должны быть поставлены перед учащимися для введения по схеме Д. Локка понятия «параллелепипед».

Далеко не все математические понятия можно ввести, опираясь на эту схему. Так, например, понятие «точка» имеет другое происхождение, т.к. не существует реальных объектов, которые могли бы выступить его прототипами, кроме того, внешние (наблюдаемые) свойства физических точек (очень маленьких объектов) не являются свойствами этого математического понятия, т.к. не закрепляются в системе аксиом.

Рассмотрение «понятия» как логико-методологической категории позволит описать: а) особенности логической структуры математических понятий; б) особенности введения понятий в математическую теорию; в) особенности развития понятий в математической науке.

Понятие (в логике) – это предикат, которому присвоено определенное имя – термин. Характеристики:

· Термин (слово или словосочетание математического языка, обозначающее это понятие).

· Содержание (множество всех свойств изучаемых объектов, закрепленных в понятии – свойств понятия).

· Объем (множество объектов, обладающих этим набором свойств – область истинности предиката).

Содержание и объем понятия жестко связаны между собой:

· Увеличение содержания понятий приводит к сужению объема, а увеличение объёма приводит к уменьшению содержания.

Содержание математических понятий может раскрываться:

· Перечисление всех свойств понятия (количество конечно);

· Введение определения, в котором фиксировано достаточный набор свойств понятия для установления его объёма и вывода всех остальных его свойств.

Объем математического понятия может раскрываться:

· Перечисление всех объектов (количество конечно);

· Классификацией объектов понятия

Задание для самостоятельной работы: пользуясь материалами из курса «Введение в математику» сформулируйте требования, предъявляемые к классификации математических понятий.

Задание 2. Перечислите все известные свойства, входящие в содержание понятия «параллелограмм». Установите, что произойдет с объемом этого понятия, если

а) к его содержанию добавить свойство перпендикулярности диагоналей - ромб;

б) из его содержания исключить свойство параллельности каждой пары противоположных сторон – трапеция или произвольный 4х-угольник.

К математическим терминам предъявляется требование однозначности.

Задание 3. Внесите уточнения в предложения, использующие омонимы, так, чтобы они стали истинными высказываниями. Сделайте вывод о способах исключения омонимов в математических языках.

А) Корнем могут быть только неотрицательные числа.

Б) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной.

В) Операция деления двух чисел не всегда выполнима.

Однозначность математических терминов достигается отнесением их к той или иной математической теории (говорят, что математические понятия не существуют вне математической теории). С учетом этой особенности математических понятия в МОМ принят термин «предпонятие» – обозначение результатов формирования математических понятий в пропедевтических курсах.

В математической теории понятия вводятся через систему аксиом или через определение. Аксиомы раскрывают свойства отношений системы первичных понятий математической теории. Определения описывают свойства остальных понятий теории посредством первичных понятий.

Задание 4. Сформулируйте определение понятия «параллелограмм». Постройте его родословную. Какие первичные понятия евклидовой геометрии являются базовыми для введения этого определения.

Задание для самостоятельной работы: пользуясь материалами из курса «Введение в математику» составьте классификацию определений математических понятий по их логической структуре»; вспомните, что такое «определение».

В ШКМ понятия вводятся: через определение, систему аксиом, описания, иллюстрирующие примеры, переопределяются.

Причины переопределения:

1) Постепенное повышение требований к уровню строгости форм мышления (выражение с переменной);

2) Постепенное расширение объёма понятия (понятие угол)

3) Поэтапный перенос понятия в различные математические теории (уравнение).

В отличие от понятий других наук, далеко не все математические понятия возникли в результате абстрагирования свойств реальных объектов. Математические понятия можно классифицировать по уровням абстракции (Г. Фреге):

Уровень абстракции	Характеристика понятия	Пример
I ступень (понятия модельной природы)	Т_I=P(x), где - множество предметов реальной действительности	М – множество долей от различных целых объектов. Т_I = P(x) – обыкновенная дробь
II ступень	Т_II=P(x), где - множество понятий первой ступени абстракции	М – множество обыкновенных дробей. Т_II = P(x) – рациональное число
… и т.д.

В 1-6 классах изучаются математические понятия модельной природы, в старших классах к ним присоединяются понятия второй ступени абстракции.

В содержании математических понятий модельной природы закрепляются лишь те свойства их реальных прототипов, которые значимы с точки зрения предмета математики:

· Количественное свойство;

· Особенности пространственной формы;

· Особенности структурной организации и их взаимодействие.

Задание 4. Среди перечисленных свойств объекта изучения выберите математически значимые: А) Характеристики движения автомобиля: величина скорости, зависимость скорости от времени, причины изменения скорости, направление движения, цель движения. Б) Характеристики упаковочного материала: объем, назначение, сырье, форма, условия минимальности затрат сырья на производство.

Среди математических понятий можно выделить понятия «объекты», понятия «методы», а также понятия двойственной природы.

Задание 5. Среди перечисленных понятий найти те, которые можно отнести к понятиям «объектам», понятиям «методам», понятиям «метод-объект»: четырехугольник - О, вектор - МО, производная функции в точке - МО, уравнение - О, число - О, симметрия - М, умножение - М.

Знание природы математических понятий нужно учителю для правильного понимания задачи «сформировать понятие».

Сформировать понятие «объект» означает сформировать у учащихся умение подводить объекты под понятия с опорой на их свойства и распространять на объекты понятия все свойства, закрепленные за ним.

Сформировать понятие «метод» означает сформировать у учащихся умение правильно выполнять математические действия обозначаемые этим понятием.

Кроме того, знание природы математических понятий помогает учителю правильно организовать процесс их формирования: создать мотивацию, соответствующую природе; включить учащихся в нужную учебную деятельность по решению задач на оперирование этим понятием.

Признаки природы математических понятий: вид определения, этимологическое значение термина.

1.Если понятия фиксируются в математической теории в виде определений, то логическая структура определения указывает на природу понятия. На природу понятий «объектов» указывают через ближайший род и видовые отличия и генетические определения

На природу понятий «методов» указывают конструктивные определения.

2.На природу математических понятий часто указывает этимологическое значение термина. Например: «модуль» от лат. modulus – мера; «функция» от лат. function – исполнение.

Технологическая цепочка (методическая схема) формирования понятий:

Название этапа	Содержание этапа	Результат
Подготовительный	Создание мотивационной, чувственной и информационной базы для введения понятия	Готовность к восприятию нового понятия
Основной	Введение термина, символа, определения или описания понятия, включение в деятельность подведения объектов под понятие, описания свойств объектов понятия	Знания термина, символа, определения, причин введения понятия в науку, этимологии термина, готовность к оперированию понятием с опорой на его определение и/или чувственный образ
Заключительный	Включение введенного понятия в систему ранее известных понятий, формирования новых понятий с его использованием	Развертывание знаний о новых свойствах понятий и умений осуществлять действия, соответствующие образовательным функциям понятия

Для реализации третьего этапа схемы нужно знать, какие отношения можно устанавливать на множестве математических понятий

Схема 2. Отношения между понятиями.

Задание 6. Установите отношение, в котором находятся понятия:

а) «арифметическая прогрессия с первым элементом 1 и разностью 1» – «множество натуральных чисел» - тождественное;

б) «четные числа» – «нечетные числа» - противоположные;

в) «прямая» – «отрезок» - подчинение;

г) «прямоугольник» – «квадрат» - подчинение;

д) «ромб» – «прямоугольник» - частичное совпадающее;

е) «прямая евклидовой плоскости» – «прямая геомет

ражение» - противоречие.

Формирование знаний учащихся о математических суждениях

Def ₅ .Суждение (высказывание) – это логическая форма мышления, в которой отображаются наличие или отсутствие самого объекта, его свойств или связей.

Задание для самостоятельной работы: пользуясь материалами курса «Введение в математику» вспомните вид основной логической структуры всякого суждения, виды математических суждений, особенности их логической структуры и связь истинностных значений (аксиома, теорема-свойство, теорема-признак, теорема о существовании и единственности, теорема-критерий, прямая, обратная, противоположная, контрапозитивная).

Технологическая цепочка (методическая схема) усвоения математического суждения:

Название этапа	Содержание этапа	Результат
	Мотивация введения нового суждения, подготовка к его восприятию или самостоятельному открытию	Готовность учащихся к пониманию суждения
	Подведение к формулировке суждения и/или осмысление его содержания, включение в деятельность оперирования суждением в соответствии с его природой	Сформированность представлений о причинах введения суждения. Сформированность знания суждения на уровнях: готовности к его воспроизведению, готовности к осуществлению элементарных математических действий на его основе
	Включение в деятельность проверки и/или обоснования истинности суждения, развертывания на его основе новых суждений, оценки теоретической значимости суждения об области его применимости	Сформированность знаний о суждении на уровне готовности к его трансформации (получению следствий, аналогий, обобщений, инверсий) и широкому использованию в сочетании с другими суждениями

Для реализации третьего этапа схемы необходимы знания о связях данного суждения с другими суждениями теории: логических, информационных, причинно-следственных, функциональных.

Def ₆. Логическими называются связи между суждениями, возникающие в результате установления различного вида логических отношений на множестве суждений (наиболее значимым отношением для построения математической теории является отношение логического следование).

Def ₇. Информационные связи возникают в результате установления _________________________________________________________

Def ₈. Причинно-следственные связи возникают в результате соотнесения ___________________________________________________

Def ₉. Функциональные связи, возникают в результате соотнесение суждения _________________________________________________

Задание 6. Поставьте в соответствие суждению А суждение Б. Установите тип связи, образующий выделенную пару.

Суждение А	Суждение Б
1. Все одновременно четные и нечетные функции отличаются друг от друга только областью определения	1. Функция монотонна на промежутках области определения
2. Всякое уравнение вида , где a , k числовые коэффициенты, имеет не более одного корня	2. Пересечение двух симметричных множеств – симметричное множество
3. Чтобы проверить функцию на четность и нечетность удобно сначала установить, обладает ли ее область определение свойством симметричности	3. Область определения четной функции – симметричное множество
4. Функция является нечетной	4. Существует числовая функция четная и нечетная одновременно

Логические связи между суждениями используются для их обоснования и для получения новых суждений посредством еще одной формы мышления – умозаключения.

Формирование умозаключений

Def ₁₀. Умозаключение – это форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений на основании определенных правил вывода получаются новые суждения.

В обучении математике они принимают вид целей и специальных методов обучения.

Основные виды умозаключений:

· индукция (полная, неполная) – вид умозаключения, при котором из одного или нескольких частных суждений получается __________________________ суждение (метод – индуктивное обобщение, результат неполной индукции – правдоподобные суждения, полной индукции – достоверные).

· дедукция – вид умозаключения, при котором по правилам логического вывода осуществляется переход от одного или нескольких суждений посылок к суждению__________________________________________ (результат – достоверное суждение)

· аналогия (строгая, не строгая) – вид умозаключения, при котором на основании существования некоторых сходных свойств у объектов получают суждение __________________________________________. Строгая аналогия основана на существовании между объектами отношения _________________________. Метод аналогий используется в обучении математике как метод подведения учащихся к _____________________

___________________________________________________________________________________________

Задание 7. Получите суждение, являющиеся результатом указанного умозаключения, и выясните, является ли оно справедливым:

Исходное (ые) суждение(я)	Вид умозаключения	Суждение-результат
1. При n = 1 и при n = 2 значение функции – простое число	Неполная индукция
2. Площадь тупоугольного и остроугольного треугольника равна ; площадь прямоугольного треугольника равна	Полная индукция
3. Диагонали прямоугольника равна. АВС D – прямоугольник	Дедукция
4. Площадь треугольника равна	Нестрогая аналогия
5. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат	Строгая аналогия

Задание для самостоятельной работы: пользуясь материалами курса «Введение в математику» вспомните определение понятия «логическое следование», основные виды логических правил вывода.

Важной задачей обучения математике является формирование умений осуществлять дедуктивные умозаключения и умений проводить доказательства на уровне строгости, соответствующем содержательному доказательству.

Задание для самостоятельной работы: пользуясь материалами курса «Введение в математику» вспомните, что называется доказательством, чем отличаются содержательные и формальные доказательства, какие существуют методы доказательства математических утверждений (прямое доказательство, косвенный метод и его разновидности, метод полной математической индукции).

Обучение дедуктивным умозаключениям и доказательству осуществляется в процессе _____________________________ доказательства математических суждений с последующей организацией работы __________________________ в процессе постановки задач _________________________, через систематическое предъявление требований __________________________действия в процессе решения задач положениями математической теории, запрет на получение суждений посредством образного восприятия действительности (из наглядных соображений).

Технологическая цепочка (методическая схема) работа с доказательством теоремы:

Название этапа	Содержание этапа	Результат
	Мотивация необходимости установления истинности утверждений посредством его доказательства, подготовка учащихся к восприятию доказательства или к его открытию
	Демонстрация учащимся доказательства утверждения или включение их в деятельность самостоятельного проведения доказательства. Включение учащихся в деятельность осмысления хода доказательства
	Включение учащихся в деятельность переноса способа доказательства утверждения в сходные ситуации.

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 112; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!