Примеры для самостоятельного решения
Решить системы линейных уравнений двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.
1) 
. 2) 
. 3) 
.
4) 
. 5) 
. 6) 
.
Решение системы линейных алгебраических уравнений в среде Maxima .
Одна из самых распространённых задач линейной алгебры – решение системы линейных алгебраических уравнений. К решению систем линейных уравнений сводятся многие задачи математики, механики, электротехники и радиотехники и других областях науки и техники. Например, численное решение многих обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных разностей сводится к решению линейных алгебраических уравнений, в разделе «статика» теоретической механики уравнения равновесия представляют собой систему линейных алгебраических уравнений, в электротехнике токи и напряжения в сложных цепях вычисляются по правилу Кирхгофа из решения системы линейных алгебраических уравнений. Система компьютерной математики Maxima располагает достаточно эффективніми возможностями решать эти задачи, как в численном, так и в символьном (анлитическом) виде.
Решние СЛАУ в матричной форме
Пусть дано матричное уравнение AX = B, где A – квадратная матрица размерности n; B – матрица-столбец свободных членов размерности n×1; X – неизвестная матрица размерности n×1. Пусть A–невырожденная матрица (det(A) ≠ 0), тогда существует единственное решение этого уравнения. В матричной форме решение СЛАУ можно найти по формуле X = A − 1 B. Решение СЛАУ в матричной форме рассмотрим на примере.
|
|
|
Пример. Найти решение матричного уравнений AХ = В, где
Сначала в среде Maxima зададим матрицы A и B:
Проверим существование и единственность решения:
Матрица A невырожденная, значит, решение существует и единственно. Найдем его:
Решние СЛАУ методом Крамера
По методу Крамера решение система n линейных уравнений c n неизвестными
,
если определитель матрицы системы не равен нулю (D = det A ≠ 0 ) определяется отношениями
xi = D i / D , (2.10)
где D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
Таким образом, по правилу Крамера необходимо сформировать соответствующие матрицы, вычислить их определители D I и D , а неизвестные находятся по формуле (2.10). Решение СЛАУ методом Крамера рассмотрим на примере.
Пример. Найти решение системы уравнений
Найдём определитель основной матрицы
Матрица D невырожденная, значит, решение существует и единственно. Найдем вспомогательные матрицы:
|
|
|
неизвестные определяются по формуле (2.10)
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 62; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!