Оценка эмпирических (статистических) характеристик вариационных рядов
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1
Обработка вариационных рядов с определением закона распределения случайной величины
Цель:
- научиться определять точечные оценки случайных величин;
- научиться выбирать и подтверждать теоретический закон распределения случайных величин;
- научиться определять параметры законов распределения.
Теоретические сведения
Расчет числовых (точечных) параметров надежности
Числовыми параметрами случайной величины называются характеристики наиболее существенных особенностей законов распределения. Параметры характеризуют центр распределения, масштаб и форму кривой распределения.
Случайными величинами (СВ) называют результаты (количественные значения) случайных (вероятностных) процессов. На практике наиболее часто используемой случайной величиной является наработка на отказ, однако могут применяться и другие СВ (расход топлива однотипными автомобилями, расход запасных частей и материалов, число требований на обслуживание или ремонт в течение единицы времени, число заездов на АЗС и др.).
Последовательность результатов случайных процессов, расположенных в порядке возрастания называется вариационным рядом. Вариационный ряд характеризует изменение (варьирование) какого-либо количественного признака случайной величины, значение которого может изменяться в каждом опыте.
Например, при обследовании пяти автомобилей в парке у них были зафиксированы отказы шаровых опор. В результате была получена следующая информация (табл. 1.1).
|
|
|
| Таблица 1.1 | |||||
| Результаты обследования автомобилей | |||||
|
| |||||
| Показатель | Первый автомобиль | Второй автомобиль | Третий автомобиль | Четвертый автомобиль | Пятый автомобиль |
| Пробег до первого отказа, тыс. км | 5 | 6 | 4 | 5,5 | 6,5 |
| Продолжение таблицы 1.1 | |||||
|
| |||||
| Показатель | Первый автомобиль | Второй автомобиль | Третий автомобиль | Четвертый автомобиль | Пятый автомобиль |
| Пробег до второго отказа, тыс. км | 9 | 11 | 9 | 8 | 12 |
| Пробег до третьего отказа, тыс. км | 12 | 14 | 12 | 13 | 16 |
| Наработка на первый отказ, тыс. км | 5 | 6 | 4 | 5,5 | 6,5 |
| Наработка на второй отказ, тыс. км | 4 = 9 - 5 | 5 = 11 - 6 | 5 | 2,5 | 5,5 |
| Наработка на третий отказ, тыс. км | 3 = 12 - 9 | 3 = 14 - 11 | 3 | 5 | 4 |
Соответственно, используя данные табл. 1.1 составим вариационные ряды наработок на отказ для шаровых опор автомобилей (табл. 1.2).
| Таблица 1.2 | ||
|
| ||
| Вариационные ряды | ||
|
| ||
| наработок автомобилей на первый отказ, тыс. км | наработок автомобилей на второй отказ, тыс. км | наработок автомобилей на третий отказ, тыс. км |
| 4 5 5,5 6 6,5 | 2,5 4 5 5 5,5 | 3 3 3 4 5 |
|
|
|
Наиболее часто используемыми числовыми характеристиками являются:
1. Средняя наработка на отказ, тыс. км:
 ,
|
где Li – текущее значение наработки на отказ, тыс. км; n – объем выборки.
Например, средняя наработка на отказ по первому вариационному ряду (табл. 1.2) составит, тыс. км:
 .
|
2. Среднеквадратическое отклонение, тыс. км:
 .
|
Среднеквадратическое отклонение показывает, насколько тесно сгруппированы возможные значения наработок на отказ около их среднего значения, т.е. характеризует степень разброса или рассеивания этих величин.
Например, Среднеквадратическое отклонение по первому вариационному ряду (табл. 1.2) составит, тыс. км:
 .
|
3. Коэффициент вариации:
 .
|
Коэффициент вариации выражает степень разброса наработок на отказ в относительных единицах. Чем выше значение коэффициента вариации, тем больший разброс значений имеют наработки на отказ относительно среднего значения.
Например, если коэффициент вариации наработок на отказ составил 0,1, то можно говорить о незначительном разбросе, т.е. о качественном проведении ТО и Р, высоком профессиональном мастерстве водителей и т.д. Если же коэффициент вариации наработок на отказ составил 0,9, то можно говорить о неправильной эксплуатации автотранспортных средств, и как следствие, необходимо принимать срочные меры по его снижению.
|
|
|
Оценка эмпирических (статистических) характеристик вариационных рядов
Последовательность расчета эмпирических характеристик имеет вид:
1. Вычисляется зона рассеивания вариационного ряда, тыс. км:
 ,
|
где Lmax – максимальное значение вариационного ряда, тыс. км; Lmin – минимальное значение вариационного ряда, тыс. км;
2. Проводится разбивка зоны рассеивания на интервалы. Число интервалов рекомендуется определять по формуле с округлением до целого числа в большую сторону:
 ,
|
- Определяется длина каждого интервала, тыс.км:
 .
|
- Определяются границы каждого интервала.
Каждый интервал имеет две границы – левую и правую. Левой границей первого интервала является минимальное значение вариационного ряда, а правая определяется по формуле, тыс.км:
 .
|
У второго интервала левой границей будет являться правая граница первого интервала, а правая граница будет определяться по вышеуказанной формуле и т.д.
|
|
|
Например, при расчете характеристик получили DL = 3 тыс. км, количество интервалов S = 4, Lmin = 6 тыс км, Lmax = 18 тыс. км. Тогда границы интервалов будут иметь следующие значения:
| Интервал | Левая граница, тыс. км | Правая граница, тыс. км |
| 1-й интервал | 6 | 9 |
| 2-й интервал | 9 | 12 |
| 3-й интервал | 12 | 15 |
| 4-й интервал | 15 | 18 |
- Определяется частота (mj) попадания наработок на отказ в каждый интервал (например, в первый интервал попали первые четыре значения вариационного ряда, во второй интервал попали следующие пять значений вариационного ряда, тогда m1 = 4, а m2 = 5).
- Определяется величина эмпирической плотности распределения вероятностей случайных величин (fэ(L)) по каждому интервалу:
 .
|
- Определяется величина эмпирической функции распределения вероятностей (вероятности возникновения отказа) (Fэ(L)):
 .
|
- Определяется величина эмпирической вероятности безотказной работы (Pэ(L)):
 .
|
Эмпирическая плотность распределения является статистическим аналогом плотности распределения вероятности случайной величины.
Принципиальное различие между эмпирической и теоретической функциями распределения заключается в том, что последняя выражает вероятность события, а первая – относительную частоту того же события. Эмпирическая функция распределения рассматривается как некоторое приближение к соответствующей теоретической функции.
Полученные в результате расчета данные сводятся в табл. 1.3.
| Таблица 1.3 | ||||||
| Интервалы вариационного ряда и значений эмпирических функций | ||||||
|
| ||||||
| Номер интервала | Принимаемые границы интервалов, тыс. км | Середины интервалов (  ), тыс. км
| Частоты, попавшие в интервалы (mj) | Эмпирическая плотность распределения вероятностей (fэ(L)) | Эмпирическая функция распределения вероятностей (Fэ(L)) | Эмпирическая вероятность безотказной работы (Pэ(L)) |
На основании полученных расчетов (табл. 1.3) строятся графики полученных эмпирических функций.
Графики эмпирической вероятности безотказной работы и эмпирической функции распределения изображают в виде непрерывной кривой, а график плотность распределения вероятностей в виде гистограммы.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 186; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!