Карта индивидуальных достижений

Гаджиева Радмила

Пособие для подготовки к ЕГЭ

для обучающихся 10-11 классов

по теме показательная функция

Математика

Пособие для подготовки к единому государственному экзамену по теме "Показательная функция"

Автор: Гаджиева Радмила Чергезовна

Рецензент: Оганисян Ирина Михайловна

Дата создания: октябрь 2020г. - январь 2021г.

Сборник предназначен для подготовки к единому государственному экзамену по математике и содержит 3 части, составленных в соответствии с проектом демоверсии КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня.

Пособие состоит из трех частей. Первая часть включают в себя 11 заданий, вторая часть – 10 заданий, а третья - 13 заданий.

Все задачи даны с решениями, позволяющими проверить полноту и точность Ваших рассуждений.

В книге дана карта индивидуальных достижений обучающегося, которую можно использовать для отслеживания динамики результативности выполнения экзаменационных заданий

Если Вы собираетесь поступить в ВУЗ на техническую или экономическую специальность и Вам нужен высокий балл на ЕГЭ по математике, эта книга для Вас.

Оглавление

1.Введение…………………………………………………………………............3

2. Карта индивидуальных достижений…………………………………………..6

3.Свойства…………………………………………………………………………4

4. Решение задач…………………………………………………………………..5

5. Ответы…………………………………………………………………………..7

Введение

Изучение темы «Показательная функция» в курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство учащихся с вопросами:

Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным показателем; решение иррациональных уравнений и их систем; показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества: ,

тождественные преобразования показательных выражений; решение показательных уравнений, неравенств и систем; понятие об обратной функции; функция, ее свойства и график;

Основная цель – привести в систему и обобщить имеющиеся у учащихся сведения о степени, ознакомить их с показательной функцией и ее свойствами, научить решать несложные показательные уравнения, их системы (содержащие также и иррациональные уравнения).

Рассматриваются свойства и график показательной функции. Систематизация свойств указанной функции осуществляется в соответствии с принятой схемой исследования функций. Приведен краткий обзор свойств степенной функции в зависимости от различных значений показателя р.

Особое внимание уделяется показательной функции как той математической модели, которая находит наиболее широкое применение при изучении процессов и явлений окружающей действительности. Рассматриваются примеры различных процессов (например, радиоактивный распад, изменение температуры тела); показывается, что решение дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы, является показательная функция. В связи с этим для показательной функции дается формула производной, вывод которой проводится с привлечением интуитивных представлений учащихся.

В ходе изучения свойств показательной функцией учащиеся систематически решают простейшие показательные уравнения и неравенства, а также иррациональные уравнения. По мере закрепления соответствующих умений целесообразно также предлагать им уравнения и неравенства, сводящиеся к простейшим в результате несложных тождественных преобразований.

Появление вычислительной техники в школе открыло возможности, которые связаны с интеграцией новых информационных технологий в учебный процесс по различным школьным предметам. В настоящее время применение различных видов прикладного программного обеспечения носит преимущественно эпизодический характер.

Свойства функции:

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел R.

2) Множеством значений функции являются все положительные числа, т.е. промежуток

3) Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.

4) Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.

5) Функция непериодическая.

6) График функции пересекает координатную ось Oy в точке (0; 1).

7) Функция не имеет нулей.

8) При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает на множестве R.

9) Функция принимает положительные значения на всей области определения.

Формулы:

Карта индивидуальных достижений

Отметьте верно выполненные Вами задания и занесите ответы в таблицу.

Часть Задания	Часть 1	Часть 2	Часть 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11		-
12	-	-
13	-	-
14	-	-	-
15	-	-	-

Задачи

1 часть

1. Найдите наименьшее значение функции

2. Найдите точку максимума функции

3. Найдите точку минимума функции

4. Найдите наименьшее значение функции

5. Найдите наибольшее значение функции

6. Решите уравнение:

7. Решите уравнение:

8. Решите уравнение:

9. Решите уравнение:

10. Решите уравнение:

11. Решите уравнение:

2 часть

1. Решите неравенство:

2. Решите неравенство:

3. Решить неравенство

4. Решить неравенство:

5. Решить неравенство:

6. Решить неравенство:

7. Решить неравенство:

8. Решить неравенство:

9. Решить неравенство:

10. Решить неравенство:

3 часть

1. Решите неравенство:

2. Решите неравенство:

3. Решите неравенство:

4. Решите неравенство:

5. Решить неравенство:

6. Решить неравенство:

7. Решить неравенство:

8. Решить неравенство:

9. Решить неравенство:

10. Решить неравенство:

11. Решить неравенство:

12. Решить неравенство:

13. Решить неравенство:

Ответы

1 часть

1. Решение:

Поскольку функция возрастающая, заданная функция достигает наименьшего значения в той же точке, в которой достигает наименьшего значения выражение Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке в нашем случае — в точке 1. Значение функции в этой точке равно

Ответ: 49

2. Решение:

Поскольку функция возрастающая, заданная функция достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума выражение Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке в нашем случае — в точке 3.

Ответ: 3.

3. Ответ: -1

4. Ответ: 16.

5. Ответ: 9.

6. Решение:

используем приведенные выше формулы и подстановку: Уравнение тогда принимает вид: Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

Переходя к обратной подстановке, получаем: Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

7.Решение:

ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 94-x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

Ответ: x = 6.

8. Решение:

обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: x = 0

9. Решение:

упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4x, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.

Ответ: x = 0

10. Решение:

функция y = 3x, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

11.Решение:

упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

Ответ: x = 2

2 часть

1. Решение:

представим исходное неравенство в виде:

Разделим обе части этого неравенства на 32x, при этом (в силу положительности функции y = 32x) знак неравенства не изменится:

Воспользуемся подстановкой:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток:

переходя к обратной подстановке, получаем:

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

2. Решение:

Разделим обе части неравенства на положительное выражение

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

Ответ:

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

Так как – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

Ответ:

4. Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

Заметим, что

В силу того, что основание степени (0,5) меньше 1, то есть мы имеем дело с убывающей функцией, переходим к следующему неравенству (не забывая поменять знак < на >):