Генеральная и выборочная дисперсии.
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят такую характеристику, как генеральная дисперсия.
Определение. Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генеральной совокупности от генеральной средней .
Если все значения признака генеральной совокупности объёма N различны, то
. (7)
Если же значения признака имеют соответственно частоты , причём , то
. (8)
Пример. Генеральная совокупность задана таблицей распределения:
2 | 4 | 5 | 6 | |
8 | 9 | 10 | 3 |
Найти генеральную дисперсию.
,
.
Определение. Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется .
Дисперсия признака X, рассматриваемого, как случайная величина, равна .
Тогда , .
Величина называется средней квадратической ошибкой.
Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака X от выборочной средней .
Если все значения признака выборки объёма n различны, то
. (9)
Если же значения признака имеют соответственно частоты , причём , то
. (10)
|
|
Пример. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:
1 | 2 | 3 | 4 | |
20 | 15 | 10 | 5 |
Найти выборочную дисперсию.
;
.
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется квадратный корень из выборочной дисперсии: .
Пример.
Будем считать значения признака различными.
Выборочную дисперсию, рассматриваемую как случайную величину, будем обозначать :
.
Теорема. Математическое ожидание выборочной дисперсии равно , т.е. .
Оценки параметров распределения.
Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины X по данным выборки. При этом считают, что генеральная совокупность бесконечна, чтобы переходить к пределу при , где n – объём выборки. Для оценки параметров распределения X из данных выборки составляют выражения, которые должны служить оценками неизвестных параметров. является оценкой генеральной средней , а – оценкой генеральной дисперсии .
Обозначим через оцениваемый параметр, через – оценку этого параметра ( составлена из ). Для того чтобы оценка давала хорошее приближение, она должна быть несмещённой и состоятельной.
Определение. Несмещённой называют оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру , т.е. , в противном случае оценка называется смещённой.
|
|
Оценка – несмещённая оценка генеральной средней, т.к. .
Оценка – смешённая оценка генеральной дисперсии, т.к. .
Наряду с выборочной дисперсией рассматривают исправленную дисперсию , которая также является оценкой генеральной дисперсии.
.
Таким образом, оценка является несмещённой оценкой генеральной дисперсии.
Для получаем:
.
Таким образом,
. (11)
В качестве приближённого неизвестного параметра берут несмещённые оценки, для того чтобы не сделать систематические ошибки в сторону завышения или занижения.
Определение. Состоятельной называют такую оценку параметра , что для любого наперёд заданного числа вероятность при стремится к единице; то есть при достаточно больших n можно с вероятностью, близкой к единице, утверждать, что оценка отличается от оцениваемого параметра меньше, чем на .
Несмещённая оценка будет состоятельной, если её дисперсия стремится к нулю при : .
Несмещённые оценки и являются состоятельными. Оценки и на практике не различаются при .
|
|
Для оценки генерального среднего квадратического отклонения используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно корню квадратному из исправленной дисперсии:
. (12)
Через и S будем обозначать левые части формул (11) и (12), заменяя случайные величины их реализациями , а – выборочной средней .
Если – большие числа, то для облегчения вычислений используют формулу:
,
где C – ложный нуль.
Пример. С плодового дерева случайным образом отобрано 10 плодов. Их вес (в граммах) записан в первой колонке таблицы. Найти и S.
Пусть C=250.
225 274 305 253 220 245 211 234 230 231 | -25 24 55 3 -30 -5 -39 -16 -20 -19 | 625 576 3025 9 900 25 1521 256 400 361 |
-72 | 7598 |
;
; .
Оценка генеральной средней веса плода равна 243 г со средней квадратической ошибкой 9 г. Оценка генерального среднего квадратического отклонения веса плода равна 28 г.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 242; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!