Вычисление площади плоской фигуры
Определенный интеграл
Вычисление определенного интеграла
Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных средств математического анализа. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. сводится к вычислению определенного интеграла.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция 
. Разделим отрезок 
на п произвольных частей точками 
, выберем на каждом элементарном отрезке 
произвольную точку 
и найдем длину каждого такого отрезка: 
.
Определение 1. Интегральной суммой для функции на отрезке 
называется сумма следующего вида 
,
Определение 2. Определенным интегралом от функции на отрезке (или в пределах от а до b) называется предел интегральной суммы (если он существует) при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков ( 
) стремится к нулю:
.
Теорема существования определенного интеграла
Если функция непрерывна на отрезке , то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки и от выбора точек .
При этом числа а и b соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Если 
на , то определенный интеграл 
с геометрической точки зрения представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
, 
(рис. 1).
 |
Рис. 1
Приведем далее без доказательства основные свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из определения:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
, где С – постоянная величина;
6. Оценка определенного интеграла. Если т и М – наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке и 
, то
;
7. Если на отрезке функции и 
удовлетворяют условию 
, то
;
8.Теорема о среднем. Если функция непрерывна на , то на этом отрезке имеется такая точка x, что справедливо следующее равенство:
.
Рассмотрим правила вычисления определенного интеграла.
Формула Ньютона – Лейбница
Если 
есть какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула
.
Она называется формулой Ньютона – Лейбница или основной формулой интегрального исчисления. Эта формула дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, если известна первообразная подынтегральной функции.
Пример 1. Вычислить интеграл 
.
.
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
.
Пример 3. Вычислить интеграл 
.
.
Простейшие методы вычисления определенных интегралов
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть дан интеграл
,
где функция непрерывна на отрезке . Введем новую переменную t формулой
.
Если
1) 
, 
;
2) 
и 
непрерывны на отрезке ;
3) 
определена и непрерывна на отрезке , то
.
Отметим, что при вычислении определенного интеграла в данном случае мы не возвращаемся к старой переменной.
Пример 4. Вычислить интеграл 
.
Сделаем замену переменной 
, тогда 
. Определим новые пределы: 
при 
, 
при 
. Следовательно,
.
Пример 5. Вычислить интеграл 
.
Сделаем замену переменной 
, 
. Определим новые пределы: 
при , 
при 
. Следовательно,
.
Интегрирование по частям
Если 
и 
- непрерывно дифференцируемые функции на отрезке , то можно воспользоваться следующей формулой:
.
Пример 6. Вычислить интеграл 
.
Пусть 
, 
, откуда 
, 
. Тогда
.
Применим формулу интегрирования по частям еще раз. Положим 
, , откуда 
, 
. Следовательно,
В некоторых случаях при вычислении определенных интегралов удобно пользоваться формулами вида:
1) если - нечетная функция, т.е. 
, то
;
2) если - четная функция, т.е. 
, то
.
Пример 7. Вычислить интеграл 
.
Подынтегральная функция – нечетная, следовательно,
.
Пример 8. Вычислить интеграл 
.
Подынтегральная функция – четная, поэтому 
. Интегрируя по частям, полагая , 
, откуда получаем , 
. Следовательно,
.
Вычисление площади плоской фигуры
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
, прямыми и , и отрезком оси Ох, вычисляется по формуле:
.
Площадь фигуры, ограниченной кривыми 
, 
и прямыми , , вычисляется по формуле:
.
Пример 9. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой 
и гиперболой 
.
Рис. 3
Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для чего решим совместно уравнения этих кривых:
или
.
Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители
,
откуда 
, 
и 
, 
. Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках 
и 
(см. рис. 3). Следовательно,
.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 81; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!