Вычисление площади плоской фигуры
Определенный интеграл
Вычисление определенного интеграла
Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных средств математического анализа. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. сводится к вычислению определенного интеграла.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция . Разделим отрезок на п произвольных частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и найдем длину каждого такого отрезка: .
Определение 1. Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма следующего вида ,
Определение 2. Определенным интегралом от функции на отрезке (или в пределах от а до b) называется предел интегральной суммы (если он существует) при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков ( ) стремится к нулю:
.
Теорема существования определенного интеграла
Если функция непрерывна на отрезке , то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки и от выбора точек .
При этом числа а и b соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Если на , то определенный интеграл с геометрической точки зрения представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями , , , (рис. 1).
|
|
Рис. 1
Приведем далее без доказательства основные свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из определения:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. , где С – постоянная величина;
6. Оценка определенного интеграла. Если т и М – наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке и , то
;
7. Если на отрезке функции и удовлетворяют условию , то
;
8.Теорема о среднем. Если функция непрерывна на , то на этом отрезке имеется такая точка x, что справедливо следующее равенство:
.
Рассмотрим правила вычисления определенного интеграла.
Формула Ньютона – Лейбница
Если есть какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула
.
Она называется формулой Ньютона – Лейбница или основной формулой интегрального исчисления. Эта формула дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, если известна первообразная подынтегральной функции.
Пример 1. Вычислить интеграл .
.
Пример 2. Вычислить интеграл .
.
Пример 3. Вычислить интеграл .
.
Простейшие методы вычисления определенных интегралов
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть дан интеграл
|
|
,
где функция непрерывна на отрезке . Введем новую переменную t формулой
.
Если
1) , ;
2) и непрерывны на отрезке ;
3) определена и непрерывна на отрезке , то
.
Отметим, что при вычислении определенного интеграла в данном случае мы не возвращаемся к старой переменной.
Пример 4. Вычислить интеграл .
Сделаем замену переменной , тогда . Определим новые пределы: при , при . Следовательно,
.
Пример 5. Вычислить интеграл .
Сделаем замену переменной , . Определим новые пределы: при , при . Следовательно,
.
Интегрирование по частям
Если и - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке , то можно воспользоваться следующей формулой:
.
Пример 6. Вычислить интеграл .
Пусть , , откуда , . Тогда
.
Применим формулу интегрирования по частям еще раз. Положим , , откуда , . Следовательно,
В некоторых случаях при вычислении определенных интегралов удобно пользоваться формулами вида:
1) если - нечетная функция, т.е. , то
;
2) если - четная функция, т.е. , то
.
Пример 7. Вычислить интеграл .
Подынтегральная функция – нечетная, следовательно,
.
Пример 8. Вычислить интеграл .
Подынтегральная функция – четная, поэтому . Интегрируя по частям, полагая , , откуда получаем , . Следовательно,
|
|
.
Вычисление площади плоской фигуры
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и , и отрезком оси Ох, вычисляется по формуле:
.
Площадь фигуры, ограниченной кривыми , и прямыми , , вычисляется по формуле:
.
Пример 9. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой и гиперболой .
Рис. 3
Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для чего решим совместно уравнения этих кривых:
или
.
Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители
,
откуда , и , . Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках и (см. рис. 3). Следовательно,
.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 79; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!