Экстремум функции двух переменных (максимум и минимум)
Лекция № 2 «Функции нескольких переменных»
Производная по направлению. Градиент функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , l – некоторое направление, задаваемое единичным вектором , где - направляющие косинусы вектора .
При перемещении в данном направлении l точки в точку функция получит приращение называемое приращением функции в направлении l .
Опр. 1. Производной функции по направлению l называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при стремлении последней к нулю, т.е. .
Производная характеризует скорость изменения функции в направлении l. Рассмотренные ранее частные производные и представляют собой производные по направлениям, параллельным соответственно осям Ох и Оу.
Примем без доказательства формулу для нахождения производно по направлению (5).
При вычислении производной по направлению полезны формулы
.
Пример1. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора где
Решение. Найдем координаты вектора и его направляющие косинусы.
Находим частные производные функции их значения в точке М(1; 2)
Применяем формулу (5)
Опр. 2. Градиентом функции называется вектор с координатами .
Обозначают вектор градиента одним из следующих способов .
Рассмотрим физический смысл вектора градиента. Найдем скалярное произведение вектора и единичного вектора направления l .
|
|
Получим: Сравнив полученное равенство с равенством (5) получим, что Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке. Таким образом, из всех направлений на плоскости в данной точке в направлении вектора градиента функция растет быстрее всего и имеет место формула
Пример 2. Найти градиент функции , его модуль и производную в направлении градиента в точке М(0; -1).
Решение. Находим частные производные функции и их значения в точке М.
Тогда градиент функции равен .
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть функция дифференцируема в некоторой области D, точка .
x |
y |
z |
x0 |
y0 |
M0 |
O |
b |
a |
Рисунок 1 |
Пересечем поверхность S, изображающую функцию. плоскостями Плоскости пресекают поверхность S по линиям и к каждой из которых в силу дифференцируемости функции в точке можно провести касательные l 1 и l 2 (рис. 1)
Прямые l 1 и l 2 определяют плоскость которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М.
|
|
Получим уравнение этой плоскости. Так как плоскость проходит черед точку будем искать ее уравнение в виде Преобразуем данное уравнение к виду
Найдем коэффициент А1. Касательная l 2 лежит в плоскости , следовательно, координаты точек касательной удовлетворяют уравнению плоскости, поэтому имеет место система уравнений . Решая систему. получим
Аналогично получим
Подставим полученные выражения в уравнение касательной плоскости, тогда уравнение примет следующий вид:
(6).
Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной к этой поверхности, называется нормалью.
Уравнение нормали можно получить в каноническом виде, используя условие перпендикулярности прямой и плоскости (направляющий вектор прямой будет нормальным вектором для плоскости). Тогда уравнение нормали:
(7)
Пример. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке
Решение. Найдем частные производные функции, их значения в точке М и воспользуемся уравнениями (6) и (7).
Экстремум функции двух переменных (максимум и минимум)
Пусть функция определена в некоторой области D, точка .
|
|
Опр. 1 Точка называется точкой максимумафункции , если существует такая d-окрестность точки , что для каждой точки , отличной от точки , из этой окрестности выполняется неравенство .
· |
· |
· |
· |
· |
· |
· |
· |
· |
x |
z |
y |
N1 |
N2 |
f(x0;y0) f(x;y) |
Рисунок 1 |
На рисунке 1:
N1 – точка минимума, а N2– точка максимума функции .
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции, или экстремумами функции.
На практике максимум и минимум функции находят с помощью необходимого и достаточного условий существования экстремума.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!