Некоторые следствия из аксиом.
Семестр
Конспект урока: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4756/conspect/203541/
Тема: Введение в стереометрию
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1. определение стереометрии;
2. понятие пространства;
3. аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве, а также следствия из них.
Глоссарий по теме
Геометрия- это наука о свойствах геометрических фигур.
Планиметрия- это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.
Стереометрия- это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Простейшими (основными) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы закончили изучать и повторять раздел геометрии, который называется планиметрией.
В планиметрии все фигуры, которые рассматривались при доказательстве каждой теоремы или при решении задач, располагались на плоскости. Таким образом, мы имели дело только с одной плоскостью.
Сегодня мы начинаем изучать новый раздел геометрии, который называется стереометрией.
Обратите внимание на данные фигуры. Как вы заметили- они объемные.
И их все объединяет раздел геометрии Стереометрия.
Что же такое стереометрия?
По аналогии с планиметрией мы можем вывести следующее определение:
Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Простейшими (основными) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.
Вместе с этими фигурами рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представления о геометрических телах дают нам: кристаллы (составлен из многоугольников) – многогранники; куб; капли жидкости в невесомости – шар; футбольный мяч (шар); консервная банка (цилиндр).
Многогранники:
Куб:
Шар:
Цилиндр:
Изучая свойства геометрических фигур, мы получаем представления о геометрических свойствах реальных предметов. В этом и состоит практическое значение геометрии, в частности стереометрия, широко используется в строительстве, архитектуре, машиностроении, геодезии, в науке и технике.
В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается ещё одна основная фигура – плоскость.
Представление плоскости нам дает любая гладкая поверхность. Она безгранична.
В стереометрии:
1. точки обозначаются прописными латинскими буквами: А, В, С и т. д.
2. прямые – строчными латинскими буквами: а, b, с и т. д. или двумя большими латинскими буквами: АВ, ВС и т. д.
3. плоскости – греческими буквами: α, β, γ и т. д.
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.
А1: Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
ТочкиА 
α, В α, С α.
Если взять четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость.
А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Это свойство используется при проверке “ровности” линейки.
Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
Пример: пересечение пола и стены
В пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии.
Некоторые следствия из аксиом.
Теорема 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Дано: а – прямая, точка М ∉ а.
Доказать: 1) существует α: а α.
2) α – единственная.
Доказательство:
1) Дополнительные построения: т. В а, т. С 
а.
2) В, С, М не лежат на одной прямой, следовательно, по первой аксиоме существует плоскость α.
3) т. к.
4) Единственность α. следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и т. М, проходит через М, В, С. Значит, она совпадает с α (по Аксиоме 1). Теорема доказана.
Теорема 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и, причём только одна.
Дано: а ∩ b в точке М
Доказать: существование плоскости α, а α, b α.
Доказательство:
1) Дополнительные построения: N Є b, N∉ a.
2) Существует α : N α, a α.
3) 
4) Из 2) и 3) следует α. проходит через прямые а и b.
5) Единственность α следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямые а и b, проходит через точку N, значит она совпадает с α (по Теореме 1). Теорема доказана.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 144; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!