Краткий анализ основ геометрий 14 страница
Но нет, такой путь не нашел проявления в обосновании пространства у Пуанкаре. По какой-то странной, молчаливой договоренности (конвенционализм Пуанкаре?) предполагается, что физическое пустое пространство существует само по себе, а вещественные тела занимают, своим объемом, место в этом пространстве, как бы не имея своего собственного пространства. И не имея именно потому, что их собственные реальные свойства не соответствуют постулируемым, перечисленным выше, общепринятым свойствам геометрического пространства.
Это очень удивительное обстоятельство приводит к не менее поразительным результатам. Исходя из него, космос в околоземной области - физическое пространство, поскольку как бы отвечает перечисленным свойствам, приписываемым пространству. (Хотя четвертое и пятое свойства только постулируются. Однородность, и изотропность космического пространства не доказана. Да и первые два свойства - сомнительны.) А вот объемы Солнца, (как и звезд и галактик), Земли, а вместе с ними и объемы любого тела, например, глыб гранита, булыжника, животного, растения… и далее молекул, атомов, электронов… и, конечно же, человека - пространствами не считаются. Нигде нет очевидных запретов для определения объема любого тела его пространством, но объем таковым пространством не считается и потому получается некая физическая несуразица. Тела-пространства заполняют другое пустое пространство, не являющееся телом по определению. И по тому же определению пространство не является целым и может быть только одним, внешним по отношению ко всем заключенным в него телам, не связанным с ними. Тем, из которого построено мнимое, геометрическое пространство, т.е. пустым всеобщим объемом. Тем, которое само не является телом, но обладает функцией субстанции отличной от тел-субстанций, и заполняется другими телами, не взаимодействующими с данным пространством и не зависящими от него. Тем, которое бесконечно во всех направлениях. Неявно подразумевается так же, что в одном месте не могут быть два пространства. И потому получается, что тела не обладают свойствами пространства, а геометрическое пространство не имеет никаких свойств, включая свойство телесности – протяженности. Мы получили тот же вывод, к которому сводились и свойства пространства Пуанкаре. Но без протяженности не может быть представлено никакое пространства. И потому круг замкнулся. Пространство непрерывно, бесконечно, пусто и не протяженно (именно то, которое абсолютизировал Ньютон). В результате имеем нонсенс под названием - «геометрическое пространство».
|
|
|
Но ведь не пустое пространство, а именно вещественные тела обладают единственным свойством, характеризующим пространство - протяженностью. Тем свойством, которое отсутствует (но всегда неявно подразумевается) в геометрическом пространстве и которого уже достаточно как для понимания, так и для «построения» пространства.
|
|
|
То, что качество «протяженность» - первое, на что обращает внимание человек при взгляде на любое тело, - несомненно. То, что это качество невозможно отнять у предмета (тела) тоже понятно, поскольку если нет протяженности, нет и предмета. Не случайно одно из некорректных определений точки гласит: «Точка – тело, не имеющее протяженности» - т.е. тело, не имеющее свойств тела. Но то, что может существовать геометрическое пространство, не имеющее свойства протяженности - математический факт, присутствующий в современной интерпретации и геометрии Евклида, и геометрии Лобачевского, и геометрии Римана, да и в других геометриях.
Отсутствие протяженности как качественной категории пространства привело к тому, что ее место было «занято» приписываемыми пространству метрическими свойствами, а вместе с ним разнообразным математическим многообразием. К тому же отсутствие внефигурного пространства в статических геометриях является естественным следствием их статичности. Реальное, вне нас существующее пространство, есть то, что обеспечивает механическое перемещение тел в любом направлении при обязательном взаимодействии с пространством. Невозможность механического перемещения, а вместе с ним и взаимодействия с реальным пространством, это тот фактор, который обусловливает отсутствие геометрического пространства. Нет, взаимодействие тел в движении - нет и пространства.
|
|
|
Однако отсутствие пространства как отображения телесности в статических геометриях еще не значит, что они не содержат в себе формализованных абстрактных пространств. Перечень таких пространств достаточно велик и опирается в основном на координатную систему и числовые многообразия. Да и движение как формальное, вневременное математическое преобразование, в этих геометриях присутствует. Но мы эти факторы рассматривать не будем, поскольку они обеспечивают только формальные связи между элементами геометрических фигур.
|
|
|
2.3. Телесное геометрическое
пространство
Итак, у нас имеется некоторое представление об окружающем реальном пространстве, как о множестве тел различной плотности, обладающих бесчисленным количеством равнозначных, качественных свойств. Причем все свойства-качества - обязательная принадлежность каждого тела, его атрибуты, и сознание человека отличает их по определению, а при научном рассмотрении только по размерности. Сама по себе реальность внешнего мира есть целое и не имеет ни частей, ни свойств, ни размеров (длины и объема), ни цветовой гаммы, ни тем более геометрии. Она просто единая, телесная субстанция - целое. Для науки это и есть «вне нас существующая физическая реальность, данная нам в ощущениях» [21]. Геометрия же - схематическое отображение одного из качеств физической реальности. Форма отображения реальности полученная посредством абстрагирование от всех (кроме двух) свойств окружающего мира и от вещественного пространства как от свойства мира.
Однако человек как живой субъект природы, чтобы ориентироваться в реальном пространстве и выжить, должен различать как отдельные предметы (тела), так и их части-доли и качества, и расстояния, и объемы и т.д., выделяя их из реальности и вводя для каждого из них определения и понятия. Без этого бытие человека просто невозможно. Это на первой стадии развития.
На второй стадии развития человек начинает абстрагироваться от реальных свойств и тел природы. Вычленяет их и разделяет на виды, классы, формы и т.д., рассматривая последние как группы идеальных объектов, сопоставляя и сравнивая их между собой, определяя возможности использования с целью приспособления их и себя к более удобному сосуществованию. Эта потребность приспособления к сосуществованию с природой на определенном этапе обусловливает появление науки и как следствие дальнейшего «расчленение» природных объектов и абстрагирование их свойств от реальности.
Но само абстрагирование, поскольку отсутствует методология процесса, носит случайный характер и зависит от того, какие свойства и качества определяются субъектом как основные для отображения предмета, от которого он абстрагируется. Предмет абстрагирования по разному будет восприматься людьми особенно в том случае, когда различие самого понятия «свойство» для тел и фигур однозначно не определено.
Так абстрагирование от тел к геометрическим фигурам можно проводить, основываясь на их первичности, и производить мысленным отвлечением от конкретных свойств и признаков объектов, несущественных для определяемой фигуры. При этом для образуемого идеала оставляются те свойства, которые соответствуют представлению о нем, до конца сохраняя за ним самое существенное (естественно, с точки зрения субъекта производящего абстрагирование) для определяемого предмета природное свойство. А можно этот процесс проводить по-другому. Абстрагироваться от предмета в идеальную точку, лишив данный предмет сразу всех физических свойств. И из этой уже идеальной точки, не обладающей ни одним качеством, той же аксиоматизацией возвращаться к построению идеала тела, основанному не на качественных природных, а на идеальных геометрических свойствах. Кажется, что оба эти процесса приведут к одному и тому же результату, и в том и в другом случае мы имеем одинаковые по форме фигуры. Но это впечатление обманчиво.
В первом случае мы в результате абстрагирования получили идеал с сохранением как минимум одного, самого необходимого для определения данного предмета физического (качественного) свойства и, возвращаясь к предмету от идеала, идем по пути «нанизывания» тех свойств, от которых отвлекались в процессе абстрагирования.
Во втором случае мы не знаем, от каких свойств абстрагировались (хотя понятно, что и второй случай тоже является абстрагированием), но нам неизвестно какие свойства мы «растеряли» при этом абстрагировании, ибо у нас в полученном идеале не осталось ни одного физического свойства. И хотя мы, в самом предмете их определяем, нам неизвестно, сохранилось ли хоть одно из них в полученной фигуре и какое? В частности такая идеальная фигура, как точка, при некоторых определениях не сохраняет ни одного физического свойства и аксиоматизируясь в другие фигуры переносит на них бескачественные формальные свойства. И «возвращаясь» от точки к аксиоматическому, как нам кажется, отображению тела геометрической фигурой, мы автоматически лишаем эту фигуру того физического свойства, которое отражает сущность изображаемого идеала. Тем не менее, остается впечатление, что геометрическая фигура обладает, хотя бы внешне, некоторыми свойствами того тела, которое изображает. Но это впечатление иллюзорно, а поскольку при аксиоматическом абстрагировании ни одно из физических свойств не было выделено основным, то возникает проблема с определением, какое же природное свойство присуще именно этой фигуре? Если, например, спросить у математика, какие природные свойства сохранили при абстрагировании такие фигуры, как круг или квадрат, то не всякий из них сможет сразу ответить на этот вопрос. Более того, не исключено, что найдутся меж ними и такие специалисты, которые вообще на такой вопрос ответа не найдут.
Но это цветочки. Ягодки, похоже, надо искать в тех же школьных учебниках. Вернемся к уже упомянутому определению пространства из учебника геометрии А. Колмогорова - «множество всех точек называют пространством» и зададимся вопросами: А какое пространство образует введенное аксиоматически понятие множество точек? Как множество не связанных между собой точек (одно качество) может образовать новую систему - пространство (другое качество)? И какое физическое свойство сохраняет это пространство? Опираясь на вышеуказанное определение, нам на эти вопросы ответить, не удалось. Интересно, а смогут ли ответить на них авторы учебника? Трудно сказать, но вряд ли, а все потому, что абстрагирование к пространству проводилось не от предмета, а от точки, не являющейся предметом.
Существенное влияние на результаты абстрагирования оказывает и понимание самих свойств, отнесение их к реальному или идеальному объекту. Обычно разделение на геометрические и физические свойства происходит на интуитивном уровне. Логически обоснованное разделение их в математической литературе нам не встречалось. Представление же о том, что любая геометрическая фигура должна обладать, и обладает даже тогда, когда это не определяется никакими геометрическими символами, хотя бы одним физическим свойством, еще не устоялось. А то, что природные и формальные геометрические свойства качественно различаются между собой, похоже, не отображено ни в математике, ни в физике. И по этой причине они на равных основаниях фигурируют в естественных науках. Но разве можно уравнять, например, свойства камня, лежащего на поверхности и точки, отображающей его на листе бумаги.
И потому, для корректного определения тел и абстракций от них, необходимо различать свойства телесные и геометрические и понимать, что появление в геометрии, в дополнение к изображенным статическим фигурам, только одного качественного физического свойства, например, времени, сразу же (как это будет показано далее) превращает статическую геометрию в динамический раздел механики.
Основные различия между физическими свойствами и свойствами статических геометрий заключаются в том, что все физические свойства характеризуют определенные особенности природных тел, их качественную сторону, которая в физике закрепляется размерностью. Геометрические (формальные) свойства не являются качественными и потому не имеют «самостоятельной» размерности оставаясь формальными представлениями фигур. И как бескачественные (безразмерностные) элементы последних так же формально напоминают какое-то идеализированное отображение бескачественных тел. Они могут сопровождаться одним искусственным качеством - метричностью, которая как размерное свойство обусловливает им значимость параметра и численную определенность, но тоже, только искусственной величины - метра. К тому же свойством метричности может обладать только один геометрический элемент - длина. Метричность это отображение пропорционирования протяженности, но не протяженность. Сама по себе метричность не является качественной характеристикой и образуется как эталон длины, «отталкиваясь» либо от естественного измерителя (парижский меридиан), либо от измерителя случайного (длина башмака короля, например, или царский локоть, но не российский). И по этой причине геометрическая единица измерения длины не может являться отображением качества и во всех процессах измерения не имеет размерности. Длина же, как и другие геометрические фигуры, образованные аксиоматически, считается в математике понятием неопределяемым.
Здесь следует остановиться несколько подробнее на неопределяемых понятиях. Впервые вопрос о том, что среди понятий, которые человек давал предметам и явлениям реального мира, должны находиться и такие, которые всегда остаются неопределяемыми, как уже это упоминалось, был поставлен Аристотелем. И неопределяемые понятия являются теми исходными пунктами - понятиями, опираясь на которые и может развиваться процесс познания. Греки полагали, что такими исходными понятиями должны быть математические понятия: число, точка, прямая, плоскость и т.д. Именно они не являются природной данностью, требуют определения, находят применение за пределами своей данности и становятся основой математики. И эти определения даются аксиомами.
Но Евклид, зная учение Аристотеля и его логику, «требующую» описания определения через известные понятия, где в качестве исходных понятий приходится брать неопределяемые, тем не менее, дал определение всем геометрическим понятиям. Можно полагать, что на интуитивном уровне он чувствовал, что неопределяемые понятия не имеют отношения к математике. Очень важно и то обстоятельство, что на протяжении двух тысячелетий после Аристотеля никто из математиков, следующих за Евклидом, не почувствовал необходимости в неопределяемых понятиях в математике и, в частности, в геометрии. Только в ХIХ веке математики, похоже, спохватились опираясь на того же Аристотеля, предположили необходимость обоснования в науке неопределяемых понятий и, заблуждаясь, «потянули одеяло на себя», посчитали, что неопределяемые понятия лежат в основе математики.
Мы полагаем, что это предположение математиков, пришедшее от греков, было ошибочным потому, что в древности произошла незаметная подмена истинно неопределяемых понятий на математические понятия, определяемые абстрагированием от тел и их качеств. Это и естественно, ведь древние греки не имели представления о том, что все качества тел являются размерностными величинами и потому свойства делятся по своему качеству на размерностные и безразмерностные. Похоже, что все математические понятия получаются как однозначное следствие абстрагирования от понятий физических, от понятий принадлежащих природным объектам. Если это так, то под вопросом оказывается вообще необходимость введение в математике аксиоматических методов.
Однако не все физические понятия можно однозначно определить в применении к природным явлениям или телам. И полностью неопределяемыми из них являются качественные понятия, те самые понятия, которые и составляют размерность физических величин. (Нельзя исключить, что именно их интуитивно чувствовал Аристотель, обосновывая необходимость существования неопределяемых понятий.) Это, например, протяженность, объем, масса, энергия и т.д. Каждое из этих понятий может определяться только через другие аналогичные понятия-свойства, также не имеющие независимого определения. И у этой цепочки нет такого логического конца, который бы выводил нас наружу, позволяя получить внешнее определение хотя бы одного свойства.
Не случайно, в физике со времен Аристотеля и до сих пор не имеет точного определения ни одно качественное свойство. И среди них даже такие общеупотребимые и вроде бы не единожды определяемые понятия, как масса, энергия, время, сила и т.д., дискуссии о физическом значении которых и попытки их определения не прекращаются по нескольку веков. Поэтому природные свойства - качества и являются неопределяемыми понятиями. Мы просто даем им название и находим их размерность, а уже от них и тел переходим к свойствам как физическим, так и математическим, которые и становятся свойствами формальными, вполне определяемыми свойствами. И потому,сами по себе формальные математические свойства не могут быть неопределяемыми. Они всегда определяются исходя из качественных свойств тел.Они - формальные отображения качеств тел
Формальные математические, как и геометрические свойства и числа вроде бы не «претендуют» на «обладание» качеством до тех пор, пока не возникает вопрос «Сколько?». Тот самый вопрос, для ответа, на который, и существует математика. Этот вопрос сразу же требует дополнения; «Сколько – чего?» А за этим «чего» стоит тот не менее формальный измеритель-эталон, который и влечет за собою появление количества какого-то качества, например, размерной протяженности длиною в королевский башмак. Именно размерность башмака и привносит, в данном случае, безразмерностному, т.е. не природному, формальному математическому свойству«длина» качество протяженности вне зависимости от того, согласен ли с этим математик или он категорически против качественной составляющей. Без этой явной или неявной составляющей ответа на вопрос «Сколько?» добиться невозможно. (Особое положение занимает градуировка круга, которая, хотя и не имеет общепризнанной размерности, все же при определенных взаимозависимостях выступает как размерностная величина. [6]) Сами же по себе (без вопроса «Сколько?»), геометрические свойства являются формальными структурными отображениями очертаний реальных физических объектов или их конфигураций, а последние, в конечном случае, опять же сводятся к протяженности и метричности.
И хотя метричность формально есть геометрический измеритель длины, а протяженность не характеризует длину расстояния, хотя и употребляется в понимании длины, она, (метричность), используется при измерении расстояния как качественное отображение физического свойства протяженности. И вот в этом случае возникает вопрос, а одно ли свойство многофакторной протяженности проявляет себя в длине?
Многофакторность протяженности включает в неявной форме следующие качественные свойства:
1. протяженность по высоте,
2. протяженность по ширине, формальные
3. протяженность по длине, геометрические
4. протяженность, аналог плоскости, свойства
5. протяженность, аналог объема,
1. протяженность как отображение плотности, качественные
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 89; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!