Дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение вида , где – независимая переменная, – искомая функция, – её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция, которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество.
Условие, что при функция называется начальным условием.
Функция, , содержащая одну произвольную постоянную называется общим решением. Функция , полученная из общего решения и удовлетворяющая начальному условию, называется частным решением.
Рассмотрим методы интегрирования некоторых уравнений первого порядка.
Уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида:
, (2.1)
где , , и – известные функции, зависящие только от или .
Если ни одна из этих функций не равна тождественно нулю, то разделив уравнение (2.1) на , получим уравнение с разделенными переменными:
. (2.2)
Проинтегрировав это уравнение, получим общее решение исходного уравнения:
. (2.3)
Уравнение сводится к уравнению с разделенными переменными. Учитывая, что , получим уравнение вида:
. (2.4)
Линейное уравнение – это уравнение вида:
, (2.5)
|
|
где и – заданные функции.
Для решения его рассмотрим метод Бернулли. Выполним подстановку , где и – две неизвестные функции, причем одна из которых произвольная. Тогда уравнение (2.5) сводится у виду
или . (2.6)
Предполагая, что – произвольная функция, найдем одно из ее решений из уравнения , например,
. (2.7)
Тогда уравнение (2.6) сведется к виду:
или , т.е. . (2.8)
Решая уравнение (2.8), получим:
. (2.9)
Общее решение исходного уравнения находится умножением на :
. (2.10)
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Общий вид уравнения второго порядка: .
Начальные условия принимают вид: и .
Общим решением является функция , содержащая две произвольных постоянных и . Частным решением называется функция , полученное из общего решения, удовлетворяющее начальным условиям.
Рассмотрим только некоторые уравнения второго порядка.
Уравнения вида . Решение этого уравнения находится 2-кратным интегрированием, а именно: ,
|
|
, . (2.11)
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Это уравнения вида:
, (2.12)
где и – некоторые действительные числа.
Общим решением является функция , где и – частные решения уравнения (2.12). Для их определения решаем характеристическое уравнение
. (2.13)
Пусть и – корни уравнения (2.13), тогда возможны следующие случаи:
1) если и – действительные числа, причем , тогда:
и ; (2.14)
2) если и – действительные числа, и , тогда:
и ; (2.15)
3) если и – комплексные числа, т.е. , тогда:
и . (2.16)
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения имеют вид:
, где – заданная функция. (2.17)
Структура общего решения уравнения (2.17) определяется следующим образом:
, (2.18)
где – общее решение однородного уравнения (2.12), которые определяются по формулам (2.14)–(2.16), а – частное решение уравнения (2.17).
|
|
Метод нахождения частного решения зависит от функции . Остановимся только на случае, когда – функция специального вида.
1) Пусть , где – действительное число, а – многочлен степени . Частное решение ищем в виде
, (2.19)
где – число, равное кратности как корня характеристического уравнения (2.13), а – многочлен степени с неопределенными коэффициентами .
Для определения этих коэффициентов, подставим в уравнение (2.17), сократим на . Получим слева многочлен степени с неопределенными коэффициентами , справа – многочлен степени , но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов .
2) Пусть , где , , и – действительные числа. Тогда частное решение ищем в виде
, (2.20)
где – число, равное кратности как корня характеристического уравнения (2.13), а и – неопределенные коэффициенты.
После подстановки в уравнение (2.17) и сократив на , приравниваем коэффициенты, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой части уравнения.
|
|
Замечание: форма (2.20) частного решения сохраняется и в случаях, когда или .
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 80; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!