III. Характеристическое уравнение и меет д в а кр а тн ых д ействительных к орня

Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y¢¢- 4y¢+ 4y = f (x).

Для соответствующего однородного уравнения y¢¢- 4y¢+ 4y = 0 составим характеристическое уравнение 2 - 4l + 4 = 0 и найдем его корни: 1,2 = 2

Получены кратные (совпавшие) действительные корни.

Правая часть f (x)

В к аком виде н ужно и скать частное р ешение ~

Неоднородного уравнения?

f (x) – ненулевая константа

или многочлен

Подбор частного решения следует осуществлять «штатным» способом точно так же, как в примерах №№1-4

24. f (x) = 5e x

25. f (x) = -2e2x

26. f (x) = (5x -1)e2x

Коэффициент в показателе экспоненты: не совпадает с кратным корнем характеристического уравнения 1,2 = 2

~ = Ae x

Коэффициент в показателе экспоненты: совпал с кратным корнем характеристического уравнения 1,2 = 2. Поэтому очевидный подбор ~ = Ae2x следует домножить на x2 :

y = x2 × Ae2x и искать частное решение в виде: ~ = Ax2e2x

Коэффициент в показателе экспоненты: совпал с кратным корнем характеристического уравнения 1,2 = 2. Поэтому «штатный» подбор ~ = (Ax + B)e2x следует домножить на x2 :

y = x2 ×(Ax + B)e2x , то есть искать частное решение в виде:

y = (Ax3 + Bx2)e2x

Если правая часть f (x) имеет вид из примеров №№9-17, то подбор осуществляется обычным образом – см. раздел I.

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html Автор: Емелин А.

IV. Характеристическое уравнение и меет сопряженные комплексные корни: 1,2 =a ± b i , причём a ¹ 0, b ¹ 0

Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y¢¢+ 6y¢+10y = f (x).

Для соответствующего однородного уравнения y¢¢+ 6y¢+10y = 0 составим характеристическое уравнение 2 + 6l +10 = 0 и найдем его корни: 1,2 = -3±i

Получены сопряженные комплексные корни с ненулевой действительной частью a . В каком виде н ужно искать частное решение y

Неоднородного уравнения?

Подбор частного решения осуществляется очевидным образом (см. примеры №№1-6, №№9-14) за исключением следующих видов правой части:

Проще всего объяснить так, берём правую часть и составляем сопряженные комплексные числа:

27. f (x) = 2e-3x sin2x

Полученные сопряженные комплексные числа -3± 2i не совпадают с корнями характеристического уравнения

1,2 = -3±i , поэтому частное решение следует искать в обычном

виде: y = e-3x (Acos2x + Вsin2x)

Составляем сопряженные комплексные числа:

28. f (x) = 2e-3x cosx Составленные сопряженные комплексные числа -3± i совпали с корнями характеристического уравнения 1,2 = -3±i , поэтому

«обычный» подбор частного решения следует домножить на «икс»: y = x×e-3x (Acosx + Bsin x) или:

y = e-3x (Axcosx + Вxsin x)

29. f (x) = e x (5cosx -3sin x) Составленные сопряженные комплексные числа 1±i не совпадают с корнями характеристического уравнения

1,2 = -3±i , поэтому частное решение ищем в виде: ~ = e x (Acosx + Вsin x)

30. f (x) = e-3x (-cosx + 2sin x) Составленные сопряженные комплексные числа -3± i совпали с корнями 1,2 = -3±i , поэтому:

y = x×e-3x (Acosx + Bsin x) = e-3x (Axcosx + Вxsin x)

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Праваячасть

f(x)

Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html Автор: Емелин А.

V. Характеристическое уравнение имеет сопряженные, чисто мнимые комплексные к орни: 1,2 = ±b i

В таком диффуре отсутствует первая производная.

Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y¢¢+ 4y = f (x) .

Для соответствующего однородного уравнения y¢¢+ 4y = 0 составим характеристическое

уравнение 2 + 4 = 0 и найдем его корни: 1,2 = ±2i

Получены чисто мнимые сопряженные комплексные корни:

Правая часть f (x)

В к аком виде н ужно и скать частное р ешение ~

Неоднородного уравнения?

Подбор частного решения осуществляется очевидным «штатным» образом, за исключением следующих видов правой части:

Коэффициент не совпадает с коэффициентом при

31. f (x) = sin x характеристических сопряженных комплексных корнях , поэтому частное решение ищем в обычном виде:

y = Acosx + Bsin x

Коэффициент совпал с коэффициентом при

характеристических сопряженных комплексных корнях , 32. f (x) = -3sin2x поэтому при подборе «штатное» частное решение необходимо

домножить на «икс»: y = x×(Acos2x + Bsin2x), то есть искать

частное решение в виде: y = Axcos2x + Bxsin2x

Коэффициенты не совпадают с коэффициентом при характеристических сопряженных

33. f (x) = 2cos3x - 2sin3x комплексных корнях , поэтому частное решение ищем в обычном виде:

y = Acos3x + Bsin3x

Коэффициенты совпали с коэффициентом при характеристических сопряженных

34. f (x) = 2xcos2x -sin2x комплексных корнях , поэтому при подборе очевидное частное решение опять же домножаем на «икс»:

y = x×((Ax + B)cos2x + (Cx + D)sin2x), или:

y = (Ax2 + Bx)cos2x + (Cx2 + Dx)sin2x

Коэффициент не совпадает с коэффициентом 35. f (x) = -3xcos4x при характеристических сопряженных комплексных корнях

, поэтому частное решение ищем в «штатном» виде: y = (Ax + B)cos4x + (Cx + D)sin4x

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html Автор: Емелин А.

Краткие итоги по 5-ти разделам:

Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 60; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!