Графики обратных тригонометрических функций

Лекция 16

Тема «Обратные тригонометрические функции»

План лекции:

1. Свойство и графики тригонометрических функций.

2. Определение арксинуса.

3. Определение арккосинуса.

4. Определение арктангенса.

5. Определение арккотангенса.

Свойства и графики тригонометрических функций

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область изменения (множество значений) – промежуток .

3. Функция нечетная: .

4. Функция периодическая. Наименьший положительный период равен 2p: .

5. Нули функции: при .

6. Промежутки знакопостоянства:

sin x > 0 при ,

sin x < 0 при .

7. Функция возрастает при и убывает при .

8. Функция принимает минимальные значения, равные -1, при и максимальные значения, равные 1, при .

График функции называют синусоидой.

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область изменения (множество значений) – промежуток .

3. Функция четная: .

4. Функция периодическая. Наименьший положительный период равен 2p: .

5. Нули функции: при .

6. Промежутки знакопостоянства:

cos x > 0 при ,

cos x < 0 при .

7. Функция возрастает при и убывает при .

8. Функция принимает минимальные значения, равные -1, при и максимальные значения, равные 1, при .

График функции также называют синусоидой.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел .

2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.

3. Функция нечетная: .

4. Функция периодическая. Наименьший положительный период равен p: .

5. Нули функции: при .

6. Промежутки знакопостоянства:

tg x > 0 при ,

tg x < 0 при .

7. Функция возрастает в каждом из промежутков .

График функции называют тангенсоидой.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел .

2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.

3. Функция нечетная: .

4. Функция периодическая. Наименьший положительный период равен p: .

5. Нули функции: при .

6. Промежутки знакопостоянства:

ctg x > 0 при ,

ctg x < 0 при .

7. Функция убывает в каждом из промежутков .

Синус, косинус, тангенс и котангенс часто называют основными тригонометрическими функциями.

Обратные тригонометрические функции

Определение. Арксинусом числа a называется число из отрезка , синус которого равен a.

Определение. Функция на отрезке имеет обратную функцию, которая называется арксинусом и обозначается .

Функция обладает следующими свойствами:

1) - область определения.

2) - область значения.

3) , где

Пример 1. Найдите .

Так как , то .

Пример 2. Найдите

Число (из промежутка ), синус которого есть , равно . Поэтому

Функция убывает на отрезке и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа a, такого, что , на отрезке существует единственный корень b уравнения . Это число b называют арккосинусом числа a и обозначают .

Определение. Арккосинусом числа a называется такое число из отрезка , косинус которого равен a.

Определение. Функция на отрезке имеет обратную функцию, которая называется арккосинусом и обозначается .

Функция обладает следующими свойствами:

3) , где

Пример 3. .

Пример 4. .

На интервале функция возрастает и принимает все значения из R. Тогда, по теореме о корне, для любого числа a из интервала существует единственный корень b уравнения . Это число b называют арктангенсом числа a и обозначают .

Определение. Арктангенсом числа a называется такое число из интервала , тангенс которого равен a.

Определение. Функция на промежутке имеет обратную функцию, которая называется арктангенсом и обозначается .

Функция обладает следующими свойствами:

3) , где

Пример 5. .

Пример 6. .

Функция котангенс на интервале убывает и принимает все значения R . Следовательно, по теореме о корне, для любого числа a из интервала существует единственный корень b уравнения . Это число b называют арккотангенсом числа a и обозначают .