Их роль в процессе развития математики
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Мичуринский государственный аграрный университет» Центр-колледж прикладных квалификаций
Реферат
По дисциплине: «Математика (включая алгебру, начала математического анализа и геометрию)» на тему: «История открытия комплексных чисел»
Выполнил обучающийся группы ЦОС17КС Ляпустин Савва Витальевич
Мичуринск, 2020
Содержание
История возникновения комплексных чисел.
1. Определение понятия комплексные числа.
2. Почему появились комплексные числа.
3. Их роль в процессе развития математики.
Понятие комплексных чисел.
1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.
2. Геометрические изображения комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная форма.
|
|
|
3. Операция сопряжения и её свойства.
4. Извлечение корней.
5. Геометрический смысл алгебраических операций.
Введение
В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий, находящее применение и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной. Тем не менее, в середине XVI века математик Рафаэль Бомбелли вводит комплексные (в данном случае точнее сказать, мнимые) числа в оборот.
История возникновения комплексных чисел
Определение понятия комплексные числа
Ко́мпле́ксные числа (устар. Мнимые числа), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма, где и — вещественные числа, — мнимая единица. Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.
|
|
|
Почему появились комплексные числа?
Процесс расширения понятий числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счёта предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее, необходимость выполнения вычитания – к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые на этом множестве операции, например: извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятий числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных. Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой: каждому числу соответствует одна точка прямой («образ» действительного числа). Координатная прямая сплошь заполнена образами действительных чисел, т. е. «на ней нет места для новых чисел». Возникло предположение о том, что геометрические образы новых чисел нужно искать не на прямой, а на плоскости. Комплексным числом называется всякая упорядоченная пара действительных чисел a и b. Два комплексных числа (a;b) и (c;d) называются равными тогда и только тогда, когда a=c и b=d. Алгебраическая форма комплексного числа. Запись a+bi называется алгебраической формой комплексного числа z= (a; b); при этом число a называется действительной частью комплексного числа z, а bi – его мнимая часть. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i * i равно -1, т. е. Если мнимая часть комплексного числа a+bi отлична от нуля, то такое число называется мнимым; если при этом a=0, т. е. число имеет вид bi, то оно называется чисто мнимым; если у комплексного числа a+bi мнимая часть равна нулю, то получается действительное число a.
|
|
|
Их роль в процессе развития математики
Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени, а позднее, и уравнений 2-ой степени. Некоторые итальянские математики того времени (- Сципион дель Ферро, Николо Тарталья, Джироломо Кардано, Рафаэль Бомбелли) ввели в рассмотрение символ √-1 как формальное решение уравнения х2+1=0, а также выражение более общего вида (а+b∙√-1) для записи решения уравнения (х-а)2+b2=0. Впоследствии выражения вида (а+b∙√-1) стали называть «мнимыми», а затем «комплексными» числами и записывать их в виде (а+bi) (символ i для обозначения √-1 ввел Леонард Эйлер в XVIII в.). Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай D <0), а также уравнения 3-ей и 4-ой степени.
|
|
|
Математики XVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIXвека относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано)… Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а √-1 считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле). Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения n-ой степени, т.е. уравнения вида a0∙xn+a1∙xn-1+…+an-1∙x+an=0. Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел – действительных или комплексных – следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их не больше, чем n. А если считать допустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопрос получается исчерпывающий: любое алгебраическое уравнение степени n (n≥1) имеет ровно n корней (действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз, какова его кратность (а это – число совпадающих с ним корней). При n≥5 общее алгебраическое уравнение степени n неразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральной степени. После того как в XIX в. появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых», или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики – теорию функций комплексного переменного (ТФКП). Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.
Понятие комплексных чисел
Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b - любые действительные числа, i - специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:
Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
a = b и c = d.
Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
a + c + i (b + d).
Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
ac - bd + i (ad + bc).
Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.
Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами.
Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается.
В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i 3 = 3 i. Чисто мнимое число i 1 = 1 i = i обладает удивительным свойством.
1.Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.
Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа - это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2); (1)
(x1, y1) * (x2, y2) = (x1*x2 - yiy2, xiy2 + x2y1). (2)
Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real - действительный, imanginerum - мнимый).
Два комплексных числа z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) называются равными только в том случае, когда x1 = x2 и y1 = y2. Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0).
Числа вида (х,0) отождествляются с действительными числами х, т.е. (х, 0) = х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т.е. (0, 1) = i, причем i2 = -1, равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).
Операции сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:
а) z1+z2=z2+z1 (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения).
б) z1z2=z2z1
в) z1+(z2+z3) = (z1+z2) + z3 (сочетательный закон или ассоциативность).
г) z1(z2z3) = (z1z2) z3
д) (z1+z2) z3=z1z3+z2z3 (распределительный закон или дистрибутивность).
Вычитание и деление комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 определяют, причем однозначно, их разность z1-z2 и частное z1/z2 как решения соответствующих уравнений z+z2=z1 и zz2=z1 (при z2?0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z1 на z2 вычисляются по формулам:
z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2), (4)
z1/z2=(x1x2+y1y2)/(x22+y22) + i((y1x2-x1y2)/(x22+y22)) (5)
Данное определение можно выразить в других терминах, а именно, вычитание - как действие, обратное сложению: z=z1+(-z2), где число (-z2) называется противоположным z2; деление - как действие, обратное умножению: z=z1(z2-1), где z2-1 - число, обратное для z2 (z2?0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:
- множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных);
- комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i2=-1.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).
Если на плоскости введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х,у) с абсциссой «х» и ординатой «у», а также радиус - вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х,у) (или радиус - вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось 0у - мнимой осью.
Число r=vx2+y2-, равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.
Угол? = (0М, ?0х) между положительным направлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy ?0, называется его аргументом.
Из определения видно, что каждое комплексное число (?0), имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2? и обозначаются единым символом Argz (для числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).
Каждое значение аргумента совпадает с величиной некоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0ч) до совпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом? > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и <0 в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy 0 есть всякое решение системы уравнений cos=x/vx2+y2; sin? = y/vx2+y2.
Значение Argz при условии 0Argz <2 называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значения, т.е. значение, выделяемое неравенством - <???.
Между алгебраическими х, у и геометрическими r,? характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами x=rcos, y=rsin?, следовательно, z=x+iy=r(cos+isin). Последнее выражение, т.е. z= r(cos+isin) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z?0 может быть представлено в тригонометрической форме.
Для практики число вида (cos+isin) удобнее записывать короче, с помощью символа ei=cos+isin. Доказанное для любых чисел (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме z=rei
3. Операция сопряжения и ее свойства.
Для данного комплексного числа z=x+iy число x-iy (отличающееся от z лишь знаком при мнимой части) называется сопряженным и обозначается символом z. Переход от числа z к числу z называется сопряжением, а сами эти числа сопряженными (друг к другу), т.к. (z)=z. Из определения следует, что только действительное число сопряжено самому себе. Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси.
Отсюда следует, что |z|=|z|, argz=-argz.
Квадратное сопряжение чисел, операции:
z+z=2x=2Rez;
z-z=2iy=2iImz;
zz=x2+y2=|z|2,
а также: z1+z2=z1+z2; z1z2=z1z2; (z1/z2) = z1/z2; P(z)=P(z), где Р (z) - любой многочлен с действительными коэффициентами; (P(z)/Q(z)) = (P(z)/Q(z)), где P и Q - многочлены с действительными коэффициентами.
4. Извлечение корней.
Извлечение корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения zn=a для нахождения z. В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения, которые можно найти по формуле:
va=v? + i? =±((v|a|+?)/2 ± i(v|a|-?)/2)), где знак «+» в скобках берется при?>0, «-» - при? <0.
5. Геометрический смысл алгебраических операций.
Пусть даны два комплексных числа z1 и z2. В результате сложения этих чисел получается число z3, изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z1+z2=0A+0B=0C=z3. Разность (z1-z2) данных чисел, соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора 0А, изображающего число z1 и вектора 0D=--0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z1-z2=z1+(-z2) = 0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z1-z2) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.
Заключение.
Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью
Источники:
https://otherreferats.allbest.ru/mathematics/00612594_0.html
https://studfile.net/preview/8121144/
Комплексное число-Википедия
https://habr.com/ru/post/246747/
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 59; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!