Физический смысл определенного интеграла
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №8
Тема: Вычисление определенных интегралов
Цель: закрепить навык вычисления определенных интегралов различными методами
уметь:
- применять основные методы интегрирования при решении задач;
знать:
- основные понятия и методы математического анализа;
Порядок выполнения работы:
1. Повторите теоретические материал по теме работы.
2. Выполните задание вашего варианта, с указанием используемых правил и формул.
3. Оформите работу и сделайте вывод
Таблица неопределенных интегралов.
1.  , где C – константа.
2. 
3.  , n¹–1.
4.  .
5.  ,  .
6.  .
7.  .
| 8.  .
9.  .
10.  .
11.  .
12.  .
13.  .
В случае  , предполагается что,  .
|
Определение:Приращение F ( b ) – F ( a ) любой из первообразных функций F ( x ) + C при изменении аргумента от x = a до x = b называется определённым интегралом от a до b функцииf ( x ) и обозначается: 
(1)
Числа a и b называются пределами интегрирования, а – нижним, b – верхним. Отрезок [a ; b] называется отрезком интегрирования. Функция f ( x ) называется подынтегральной функцией, а переменная x – переменной интегрирования. Таким образом, по определению
(2)
Данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.
Свойства определённого интеграла:
1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если A = const. то
|
|
|
(3)
2) Определённый интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е. 
(4)
3) Если a<c<b, то 
4) Если функция f ( x ) неотрицательная на отрезке [ a ; b ], где a < b, то 
5) Если f ( x )≥ g ( x ) для всех x € [ a ; b ], где a < b, то 
Рассмотрите примеры вычисления определенных интегралов, решенные методом непосредственного интегрирования
Непосредственное интегрирование предполагает использование основных свойств определенного интеграла и формулы Ньютона – Лейбница.
Приме 1: Вычислить 
.
Решение: 
Пример2:Вычислить 
Решение: 
Пример3. Вычислить 
.
Решение:
Геометрический смысл определенного интеграла
Если интегрируемая на отрезке [a;b] функция f ( x ) неотрицательна, то определённый интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b :
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
.
Решение. Находим точки пересечения заданных линий.
|
|
|
Для этого решаем систему уравнений: 
Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение: 
или 
.
Находим: x1 = – 2, x2 = 4. Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).
Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:
.
По формуле Ньютона-Лейбница находим:
.
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Решение. Найдем точки пересечения линий , , приравнивая ординаты линий: 
или 
. Находим корни x1 = – 1 , x2 = 3 и соответствующие им ординаты y1 = 2, y2 = – 2.
По формуле площади фигуры получаем
Пример 3. Определить площадь, ограниченную параболой y = x2 + 1 и прямой x + y = 3.
Решение.
Решая систему уравнений 
находим абсциссы точек пересечения x1 = – 2 и x2 = 1.
Полагая y2 = 3 – x и y1 = x2 + 1, на основании формулы 
получаем 
Физический смысл определенного интеграла
1. 
− сила, параллельная оси 0Х и ориентированная в положительном направлении оси 0Х, действующая на материальную точку при прямолинейном перемещении по промежутку [a, b]. Работа А силы при этом равна: 
.
2. 
− скорость неравномерного прямолинейного движения материальной точки.
|
|
|
Путь 
, пройденный точкой за промежуток времени 
,
при этом равен: 
.
3. 
− плотность неоднородного прямолинейного стержня с концами в точках 
.
Масса m такого стержня равна: 
.
Задача о вычислении пути
Согласно физическому смыслу первой производной, производная функции в точке есть мгновенная скорость точки, т.е. 
. Отсюда, 
. Интегрируя полученное равенство в пределах от t1 до t2 получаем
Тогда путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью 
(е) за отрезок времени [ 
]выражается интегралом
(1)
Пример 1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой = 2t+3t2(м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
Решение.
Пример 2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v 
=(6t2+2t) м/с, второе – со скоростью v2=(4t+5) м/с. На каком расстояния друг от друга они окажутся через 5 с?
Решение. Искомая величина есть разность расстояний, пройденных телами за 5 с.
Таким образом, S=S1-S2= 275-75=200 (м).
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 438; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!