Лист Мёбиуса - начало новой науки топологии
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный педагогический университет
имени Козьмы Минина»
Факультет гуманитарных наук
Кафедра «Математики и математического образования»
РЕФЕРАТ
По курсу «Математические методы обработки данных»
На тему: Лист Мёбиуса
Выполнила: студентка 2 курса, очной
формы обучения, группы ИНО-19-1
Николаева Мария Владимировна
Научный руководитель: старший
преподаватель кафедры МиМО
Елизарова Екатерина Юрьевна
 |
Н. Новгород
2020
Содержание
Введение------------------------------------------------------------------------- 3
1. Историческая справка ------------------------------------------------ 4
2. Определение листа Мёбиуса ----------------------------------------- 4
3. Начало новой науки - топологии ------------------------------------ 5
4. Свойства листа Мёбиуса ---------------------------------------------- 6
5. Применение ленты Мёбиуса ----------------------------------------- 7
6. История открытия ------------------------------------------------------ 8
7. Изготовление ленты Мёбиуса --------------------------------------- 9
8. Применение ленты Мёбиуса в геометрии ------------------------- 11
Заключение ----------------------------------------- ----------------------------- 14
Список использованной литературы ----------------------------------------15
Введение
Существует гипотеза, что наша Вселенная замкнута в эту самую ленту. Согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория согласуется с предположением, что космический корабль, все время летающий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Из этого можно сделать вывод о реальности теории зеркальных миров - ведь если астронавты совершат путешествие по ленте Мёбиуса и вернутся в исходную точку, то они превратятся в своих зеркальных двойников.
|
|
|
Кроме того, есть гипотеза, что спираль ДНК тоже является сама по себе фрагментом ленты Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Такой подход к структуре ДНК вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они также утверждают, что на свойствах ленты Мёбиуса основаны все оптические законы. В частности, отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.
В данном реферате мы постараемся решить следующие задачи:
. Изучить историю возникновения листа Мёбиуса, обычно называемого лентой Мёбиуса, её свойства.
|
|
|
. Провести разнообразные эксперименты с лентой Мёбиуса.
. Показать геометрическое применение ленты Мёбиуса.
. Объяснить практическое применение ленты Мёбиуса в повседневной жизни.
Историческая справка
Таинственный и знаменитый лист или, как иногда говорят – лента, Мёбиуса придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мебиус, ученик «короля математиков» Гаусса.
Мебиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений.
Мебиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.
В 1858 году Август Фердинанд Мебиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.
Одновременно с Мебиусом изобрел этот лист и другой ученик – (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году.
|
|
|
Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело – две стороны.
Определение листа Мёбиуса
Лист Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном пространстве, разделяет его на две части - ограниченную «внутренность» и неограниченную «внешность», подобно тому, как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части.
Самое же удивительное, пожалуй, то, что я смогу её сделать своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для ясности обозначим углы с одной стороны ленты А и В, а с другой - А и В. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 1800. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса.
Лист Мёбиуса - начало новой науки топологии
С того момента, как немецкий математик обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Термин «топология» может быть отнесён к двум разделам математики. Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, долгое время называли комбинаторной. За другой, у истоков которой стоял немецкий учёный Георг Кантор, закрепилось название общей или теоретико-множественной.
|
|
|
Комбинаторная топология – раздел геометрии. «Геометрия» - слово греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие», изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы.
1. Планиметрия - раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости.
2. Стереометрия - раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т. д.)
З. Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях.
Комбинаторная топология изучает свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при взаимно однозначных и непрерывных отображениях. Долгое время топология воспринималась как наука, далёкая от жизни, призванная лишь «прославлять человеческий разум». Но в наше время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к объяснению устройства мироздания.
Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании математики. Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерывность» и т. п. Основы аксиоматики топологического пространства были заложены Феликсом Хаусдорфом и завершены российским математиком Павлом Сергеевичем Александровым.
Свойства листа Мёбиуса
Рассмотрим свойства этого топологического объекта.
Односторонность
В своей работе «Об объёме многогранников» Август Мебиус описал геометрическую поверхность - лист Мёбиуса, обладающую совершенно невероятным свойством - она имеет только одну сторону. И можно наглядно убедиться, что у этой ленты Мёбиуса действительно всего одна сторона. Попробуем закрасить перекрученную ленту в два цвета – одним с внутренней стороны, а другим с внешней. Чтобы мы не придумывали, нам это не удастся.
Непрерывность
Это ещё одно топологическое свойство. Если сравнить схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.
На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не придётся переползать через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная.
Связность.
Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две половины, нужно уже два разреза. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет, что квадрат и ромашка – односвязны, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны.
А лист Мёбиуса Конечно двусвязен, т. к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.
Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение
«Хроматический номер» - это максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.
Применение ленты Мёбиуса
Имеются материальные воплощения простого листа Мёбиуса. Недавно построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.
Благодаря ленте Мёбиуса появился «Механизм управления», на который получено Авторское свидетельство. Механизм управления можно применить в детских заводных игрушках и затворе фото - или кинокамеры.
Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур, и для графического искусства Лента Мёбиуса также распространена в художественной литературе и дорожных развязках.
В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса
Лист Мёбиуса, разрезанный по средней линии, превращается в поверхность, гомеоморфную поверхности цилиндра. В теории чисел и алгебре известны обратные формулы Мёбиуса.
Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса.
В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это дает ощутимую экономию.
Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса, представленного в моей работе, состоит в том, что он дал толчок новым исследованиям. Математические исследования продолжаются и в наши дни. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.
История открытия
Гипотеза №1
Рассказывают, что открыть свой «лист Мёбиуса» помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус, ученик знаменитого , астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты в 1858 году.
У листа Мёбиуса всего одна сторона, и это поразило немецких профессоров, потому что каждая поверхность имеет две стороны.
Гипотеза №2
В научных источниках говорится, что Август Фердинанд Мебиус взял однажды бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота, а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради - теперь уже неизвестно.
Изготовление ленты Мёбиуса
Как сделать ленту Мёбиуса?
Возьмём прямоугольную бумажную полоску, перекрутим на пол-оборота один её конец и приклеим его к другому концу той же полоски. Эту модель и называют: «лента Мёбиуса». Обладает она интересными свойствами. Для того, чтобы узнать о них, мною проведены несколько экспериментов, в которых постарался ответить на вопросы:
Если начать закрашивать ленту Мёбиуса с одной стороны, не переходя через край, то какая часть ленты окажется закрашенной?
Что получится, если разрезать ленту Мёбиуса вдоль посередине?
Что получится, если разрезать ленту Мёбиуса вдоль, отступив треть от края?
Что получится, если перекрутить ленту дважды, а потом разрезать вдоль посередине?
И вот что у нас получилось:
· У ленты Мёбиуса всего одна сторона. Убедимся в этом: возьмём кисть и краску, начнём постепенно окрашивать ленту в какой-нибудь цвет, начиная с любого места. После окончания лента у нас полностью окрашена. В книге «Что такое математика?» Рихард Курант и Герберт Роббинс писали: «Если кто-нибудь вздумает раскрасить «только одну» строну поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее в ведро с краской».
· Попробуем разрезать обычную цилиндрическую поверхность и лист Мёбиуса по средней линии. «Обычное» (цилиндрическое) кольцо распалось на два куска, а лента Мёбиуса превратится в одно перекрученное кольцо, причём оно перекручено дважды и вдвое длиннее, но уже. Еще удивительнее то, что полученное кольцо уже двустороннее.
· Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мёбиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами (такую ленту называют афганской).
· При повороте на 360 градусов получим двустороннюю поверхность. Для закрашивания её непременно нужно перевернуть на другую сторону. При разрезании вдоль посередине получим два кольца, сцепленных между собой.
Интересны были и другие эксперименты с этим удивительным геометрическим явлением.
· Приготовим лист Мёбиуса из достаточно широкой полоски и разрежем его так, чтобы линия разреза все время шла вдвое ближе к левому краю полоски, чем к правому (линия разреза обойдет лист Мёбиуса дважды).
· Получаем два кольца: одно - лист Мёбиуса, другое - перекрученное на 360 градусов.
· Вновь возьмём бумажную полоску; один ее конец перекрутим на полный оборот (на 360 градусов), приклеим к другому концу и разрежем получившуюся модель по средней линии. Получаем два одинаковых, сцепленных кольца, каждое из которых повёрнуто на 360 градусов.
· Попробуем проделать в полоске щель и проденем сквозь неё один конец полоски. Склеим и разрежем. Получили две отдельных ленты Мёбиуса.
· А теперь попробуем склеить обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии. Каков результат? Получилась квадратная рамка.
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 168; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!