Примеры для самостоятельного решения

СЕМИНАР 13

Несобственные интегралы

При изучении определённого интеграла от функции f (x) требуется, чтобы функция f (x) удовлетворяла следующим условиям:

· была определена на конечном отрезке [a;b];

· была непрерывна на отрезке [a;b].

Если нарушено хотя бы одно из указанных условий, то речь будет идти о несобственных интегралах первого и второго рода.

Интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a;+¥) или (–¥;a] или (–¥;+¥).

Определение 1. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на бесконечном промежутке [a;+¥) первого рода, обозначается и в этом случае считается, что интеграл сходится. Если не существует или равен ¥, то считается, что интеграл расходится.

Аналогично определяются интегралы:

Если пределы конечные, то соответствующий интеграл считают сходящимся, а если хотя бы один из пределов не существует или бесконечный, то интеграл считают расходящимся.

Интегралы от разрывных функций

1) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x = b либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = b

будем называть особой точкой функции f (x).

Определение 2. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается символом . При этом говорят, что несобственный интеграл сходится и записывается равенство:

Если конечный предел не существует или он бесконечный, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

2) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x = a либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = a называют особой точкой функции f (x).

Определение 3. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом .

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится и записывается равенство:

Если конечный предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Замечание. Если функция f(x) имеет разрыв в некоторой точке x = c внутри отрезка [a;b], то по определению полагают:

при условии, что оба предела в правой части существуют, и e иd не зависят друг от друга. Этот интеграл также называют несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом:

Сходимость или расходимость такого интеграла зависит от существования или не существования конечного предела.