Примеры для самостоятельного решения
СЕМИНАР 10
Интегрирование рациональных дробей
Разложение рациональной дроби на сумму простых дробей
Определение 1. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если m < n . В противном случае (если m ³ n ) она называется неправильной.
Определение 3. Простыми рациональными дробями называются дроби следующих четырех типов:
I . 
,
II. 
,
III. 
,
IV. 
Теорема 1. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби.
Теорема 2. Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы конечного числа простых рациональных дробей.
Разложение правильной рациональной дроби 
(m < n) на сумму простых дробей можно выполнить по следующей схеме:
· Найти корни многочлена Qn(x ) и представить его в виде произведения простых множителей:
,
где 
, 
, 
, 
, 
· Записать разложение дроби с неопределёнными коэффициентами:
· Определить коэффициенты
,
суммарное число которых равно n, методом неопределённых коэффициентов.
Для этого необходимо всё разложение привести к общему знаменателю и приравнять числитель полученной дроби к Pm(x). Приравнивая в этих многочленах коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему из n линейных уравнений с n неизвестными. Эта система имеет единственное решение – искомые коэффициенты.
|
|
|
Интегрирование простых дробей
Задача интегрирования рациональной дроби сводится к интегрированию простых дробей четырёх типов.
I тип. 
II тип. 
III тип. 
Интегрирование дроби IV типа проводится аналогично интегрированию дроби III типа.
Итак, любая рациональная дробь интегрируема. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:
1) Выделить целую часть дроби, если дробь является неправильной, т.е. представить в виде:
,
где T m – n(x) и R r(x) – многочлены степени m – n и r соответственно (причём r < n).
2) Разложить правильную рациональную дробь 
на сумму простых дробей.
3) Вычислить интегралы от многочлена T m – n(x) и каждой из простых дробей, полученных на шаге 2).
Примеры с решениями
Пример 1. Найти интеграл 
Решение.
1) Дробь 
– неправильная рациональная дробь. Выделим её целую часть:
Поэтому можно записать:
.
2) Полученную правильную дробь 
разложим на сумму простых дробей:
Отсюда следует: 
.
Значит, подынтегральную рациональную дробь можем представить в виде:
.
3) Найдём интеграл:
Ответ: 
Пример 2. Найти интеграл 
|
|
|
Решение.
1) Разложим подынтегральную правильную дробь на сумму простых дробей
Отсюда следует:
Найдем интеграл:
Последний интеграл находим по правилу, указанному в интегрировании дроби третьего типа. Выделяем полный квадрат в знаменателе
и выполняем замену 
.
.
Подставляя найденный интеграл I в предыдущее выражение искомого интеграла, найдём
.
Примеры для самостоятельного решения
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Ответы
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
; 5. 
; 6. 
; 7. 
8. 
; 9. 
; 10. 
; 11. 
;
12. 
;
13. 
; 14. 
; 15. 
; 16. 
; 17. 
; 18. 
; 19. 
; 20. 
.
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 43; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!