Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Конспект урока математики

Дата 25.11.20 ; 27.11.20

Курс 2

Группа 4

Тема урока: «Вычисление пределов»

Урок № 29-30

Форма работы: индивидуальная, дистанционное обучение.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока:

Изучаемая литература: 1.Математика для профессий и В.А.Гусев, Москва, издательский центр «Академия» 2011год

2. Математика,11класс (базовый уровень),автор М.И.Башмаков, Москва, Издательский центр «Академия»

Интернет- ресурсы : Математика в открытом колледже http://www.mathematics.ru

Ход занятия :

Организационный этап. Мотивационный модуль

Ребята, сегодня, вы рассмотрите материал по теме : «Вычисление пределов».

Основная часть. Объясняющий модуль.

Решение упражнений.

Функции под знаком предела, в данном случае .

Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Пример 1:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

В пределе желательно помечать, что и куда стремится.

Пример 2

Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Пример 4

Вычислить предел

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:

,

Первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел

В курсе математического анализа, доказывается, что:

– тот же самый первый замечательный предел.

Примеры:
, , ,

Здесь , , , , первый замечательный предел применим.

Пример 5

Найти предел

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка: – это иррациональное число.

В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 6

Найти предел

Домашнее задание : написать конспект по теме урока.

Контрольное задание Найти предел

Конспеки и контрольное задание отправить личным сообщением в ВК

Закрепление

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Вычислить:

Решение:

выражение х³ – 2х² + 5х +3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х³ – 2х² + 5х + 3 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем:

Ответ: 7.

Пример 2. Используя правила, вычислим .

Решение: функция определена в любой точке , в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х=2. Имеем:

Ответ: 0.

Пример 3. Вычислить .

Решение:

если подставить значение х = - 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: