Свойства неопределённого интеграла
Неопределенный интеграл. Первообразная функция, неопределённый интеграл и его свойства
К понятию первообразной функции приводят многие задачи математического анализа и физики. Рассмотрим былинный физический пример: известен закон изменения скорости тела 
, требуется найти закон изменения координаты 
данного тела.
Скорость – это производная от пройдённого пути: 
, таким образом, для решения задачи необходимо по заданной функции (производной) восстановить функцию То есть, в распоряжении есть некоторая функция 
и возникает потребность выяснить, от какой функции она произошла - необходимо найти ТАКУЮ функцию 
, чтобы 
.
Определение: функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех 
из этого промежутка выполняется равенство или, что то же: 
Например, для 
первообразной функцией на всей числовой прямой будет являться функция 
. И действительно, для любого «икс»:
.
Теорема: пусть – какая-нибудь первообразная для функции на некотором промежутке. Тогда функция 
, где 
– произвольная константа, тоже будет первообразной функцией для на данном промежутке.
Доказательство: поскольку производная константы равна нулю, то:
, следовательно, – первообразная для функции по определению первообразной, что и требовалось доказать.
Так, для функции первообразной будет являться любая функция из множества 
, где 
|
|
|
Докажем обратное утверждение: любая другая первообразная 
для функции отличается от лишь на приплюсованную константу, иными словами: 
.
Вот это уже менее очевидный факт. И в самом деле – вдруг для функции существует не только , а какая-нибудь ещё первообразная?
Пусть 
– это две первообразные для функции на некотором промежутке. Тогда для любого «икс» из данного промежутка производная разности будет равна:
, или если записать короче: 
Но с другой стороны, из дифференциального исчисления известно, что данному условию удовлетворяет функция-константа и только она: 
Откуда и следует равенство , которое требовалось доказать. Таким образом, любая первообразная для функции имеет вид 
Определение: множество всех первообразных для функции называется неопределённым интегралом от функции и обозначается символом 
. Таким образом, по определению: 
, где
Функция называется подынтегральной функцией, 
– подынтегральным выражением, а сам процесс отыскания множества первообразных 
– интегрированием. Интегрирование – это восстановление функции по её производной (обратное действие по отношению к дифференцированию).
Для нашего демонстрационного примера:
, где Проверка: 
– исходная подынтегральная функция.
|
|
|
Любая ли функция интегрируема? Нет. достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна , то она интегрируема на нём.
Свойства неопределённого интеграла
1) Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
Доказательство: по определению неопределённого интеграла: 
, следовательно:
, что и требовалось доказать.
По правилу раскрытия дифференциала:
2) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
Учитывая, что 
, свойство можно переписать в следующем виде: 
Поскольку и получается непосредственно само определение неопределённого интеграла.
Как видите, в обоих случаях значки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, что естественно.
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 139; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!