Особенности методологии математических наук
В широком смысле методология математики изучает совокупность математических методов, связь математики с другими науками и с различными областями человеческой деятельности. Методология математики определяет ее объект и предмет; место математики в системе наук; соотношение теоретической и прикладной математики; внутреннюю структуру науки; методы, применяемые в исследовании; философские проблемы математики; истинность теоретического знания; перспективы развития науки.
Недооценка методологических проблем мешает формированию научного представления об основах, путях развития и перспективах математических наук. Кроме того, знание методологии является необходимым элементом культуры преподавателя, необходимым основанием его профессионального мастерства.
Большое методологическое значение имеет выделение и анализ принципов двух основных частей математики - теоретической и прикладной. Всякое исследование в области чистой математики строится дедуктивно. Поэтому дедуктивный вывод является принципом теоретической математики.
В то же время основа приложений математики - метод моделирования, это единственное адекватное средство отражения реальной действительности в понятиях математики, способ перевода задачи с языка других наук на язык математики. Поэтому принципом прикладной математики является метод математического моделирования.
|
|
|
Таким образом, методология науки дает нам принципиальный признак для различения математики-теории ("чистой") и математики-метода (прикладной). Он выражается в том, что если первая основное внимание уделяет гносеологической стороне исследования с ее вниманием к логике, к теоремам существования, единственности, к условию сходимости величин, то вторая исследует практическую сторону дела, что сводится к построению математической модели реального процесса и ее исследованию с помощью точных или приближенных методов.
Особого рассмотрения требует соотношение таких методов, как индукция - дедукция. Индукция - это общенаучный метод познания, основанный на рассуждениях от частных, единичных утверждений к общему выводу. Существуют полная и неполная индукции. Полная: если справедливо рассуждение для каждого элемента некоторого конечного множества, то оно справедливо для всех элементов.
Неполная индукция используется на бесконечном множестве или на множестве, содержащем слишком большое, недоступное для полного перебора число элементов. Она не является универсально истинным суждением и не имеет формально-логического обоснования. Используя неполную индукцию, исследователь опирается на интуицию. Таким путем осуществляется познание в естественных науках.
|
|
|
В математике метод индукции получил свое крайнее выражение в виде метода полной математической индукции. Определенный гипотетический признак, справедливость которого доказывается для любого натурального числа, устанавливается для некоторых конкретных значений, а затем, полагая, что гипотеза справедлива для произвольного натурального значения, выводят как следствие, что она должна быть справедливой для следующего натурального числа.
Методы индукции и дедукции находятся в диалектическом единстве так же, как анализ и синтез. Индукция в чистом виде логически необоснованна, а дедуктивная теория, не получившая интерпретации с помощью индукции, - бессодержательна, схоластична.
Метод дедукции является основным методом теоретической математики. Прикладная математика использует индуктивную логику и так называемые "правдоподобные рассуждения".
Центральная идея методологии математики заключается в том, что математика в целом является общенаучным методом познания. Поэтому научно-технический прогресс общества сопровождается интенсивной математизацией знаний, то есть проникновением математических методов в другие науки. Можно выделить два типа математизации: первый, при котором наука использует математику для описания и исследования своих объектов, второй, при котором математика используется для обработки данных.
|
|
|
Математика имеет двойственный характер, являясь единством теоретического и прикладного знания. Принято считать, что истинность теории заключается в соответствии логике, поэтому необходим логический анализ исходных положений теории и всевозможных следствий из них. Вопрос об истинности прикладного математического знания чрезвычайно актуален в связи с широчайшими приложениями математики. Это действительно вопрос соответствия практике: достаточно довести расчеты до числа и сравнить с параметрами реального процесса, с фактами, результатами наблюдений и экспериментов.
Важное методологическое значение имеет проблема логических оснований математики, изучение которой позволяет проследить историю развития науки, а также историю развития ее предмета и метода. Внутренне противоречивый характер взаимоотношений конечного и бесконечного, дискретного и непрерывного постоянно порождал парадоксы в математике и явился причиной трех великих кризисов логических и методологических основ математики.
|
|
|
С середины 1970-х гг. в практику научного познания широко вошел метод математического эксперимента. Он основан на интенсивном использовании возможностей современной вычислительной техники.
Суть метода состоит во всестороннем изучении большого массива решений некоторой задачи численными методами с варьированием параметров уравнения, а иногда даже самого вида уравнения.
Дальнейшее исследование заключается в обобщении результатов численных решений и выделении их инвариантных характеристик. Метод математического эксперимента получил широкое применение в области точного математизированного естествознания.
Изучение проблемы оснований математики приводит нас к важному методологическому выводу: процесс построения математики и ее оснований никогда не будет завершен, познание бесконечно.
Дата добавления: 2020-11-29; просмотров: 748; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!