Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Преподаватель - Брыкало А.А.

brukalo_aa@mail.ru

https://vk.com/id399759339

Конспект урока «Математика»

Дата 06.11.20

Группа 5 «Механизация сельского хозяйства»

Тема: «Определение синуса, косинуса и тангенса угла»

Форма работы: индивидуальная, электронное обучение

Тип урока: изучение нового материала

Продолжительность урока: 1 час

Цель урока:

- ввести понятия косинуса, синуса, тангенса произвольного угла.

Глоссарий по теме:

Синус угла α– ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α. Обозначается sin α.

Косинус угла α – абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α. Обозначается cos α.

Тангенс угла α – отношение синуса угла к его косинусу. Обозначается tg α.

Котангенс угла α - отношение косинуса угла к его синусу. Обозначается сtg α.

Линия тангенсов - касательная, проведенная к точке (1;0).

Линия котангенсов - касательная, проведенная к точке (0;1).

Используемая литература:

Учебник: Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубленные уровни./Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др.- 5 изд.- М.: Просвещение, 2018г

https://uchebnikionline.ru/uchebniki/10-klass/algebra-10-11-klass-alimov-kolyagin-bazovyy-i-uglublennyy-urovni

Интернет-ресурсы:

Методика преподавания математики http://methmath.chat.ru/

Российская электронная школа https://resh.edu.ru/

Учебный фильм «Определение синуса, косинуса и тангенса угла»

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6019/main/199185/

Ход урока

Организационный этап:

Мотивационный модуль

Сегодня на уроке мы узнаем, как по другому называются абсцисса и ордината точки, лежащей на единичной окружности.

Основная часть:

Объясняющий модуль

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

- Ввод понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;

- Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;

- Решение простейших тригонометрических уравнений.

1.Найдите координаты точек А, В, С и D, лежащих на единичной окружности (рис. 1)

Рисунок 1 – единичная окружность

Поставьте в соответствие точке её координаты

А (0; 1)

В (-1; 0)

С (1; 0)

D (0; -1)

Ответ: А(1; 0); В(0; 1); С(-1; 0); D(0; -1)

Рассмотрим окружность радиуса, равного 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической.

Рисунок 2 – точка Р на единичной окружности

Точка Р (1; 0) при повороте вокруг начала координат на угол переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты. (рис. 2).

Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается

Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается

Угол может выражаться и в градусах и в радианах.

Пример 1.

Точка А(1; 0) при повороте на угол 90 (рис. 1)

Ордината точки В равна 1, значит или

Абсцисса точки В равна 0, значит

Пример 2.

Точка А(1; 0) при повороте на угол переместилась в точку ( рис. 1)

Найдите и

Ответ: = 0;

Пример 3.

Точка А(1; 0) при повороте на угол переместилась в точку

Найдите и

Ответ: = 1 = 0.

Рассмотрим ещё два понятия.

Определение. Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.

Обозначается tg

tg ,

Пример 4.

Найти tg 0. Вычислим по формуле tg = = 0.

Определение. Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.

Обозначается сtg

сtg

Пример 5.

Найти сtg .

Вычислим по формуле сtg =

2. Меру угла (в радианах) можно рассматривать как действительное число, поэтому и – это числовые выражения. А так как каждая точка единичной окружности имеет координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1 ≤ х ≤ 1; -1 ≤ у ≤ 1,то синус и косинус не могут превышать значения, больше .

Чтобы решить уравнения = а, нужно считать х неизвестным, число а – заданным.

Пример 6.

Решить уравнение = 1.

Найдем точку с ординатой 1 и запишем, каким числам х она соответствует. На окружности мы видим эту точку: В (0; 1). Она соответствуют числу и всем числам вида

Решением уравнения = 1 являются х = .

3. Полезно знать синусы, косинусы, тангенсы некоторых углов. Для этого рассмотрим дугу единичной окружности в I четверти координатной плоскости (рис. 3).

Рисунок 3 – 1 четверть единичной окружности

Точки А (1; 0) и В (0; 1) нам знакомы. Рассмотрим ещё несколько точек на окружности и найдем их координаты. Точка С является серединой дуги АВ, значит угол АОС равен половине прямого угла, 45 или . Ордината точки С равна её абсциссе. Их значения нетрудно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ОСF, оно равно А значит,

tg 45

Дуга АМ составляет третью часть прямого угла, . Ордината точки М равна , значит

, tg30 .

Дуга АN составляет прямого угла, . Абсцисса точки N равна , поэтому

, tg 60 .

Чтобы легче запомнить эти значения, придумали мнемоническое правило- правило на ладони (рис. 4).

Рисунок 4 - мнемоническое правило- правило на ладони

Расположим ладонь так, как на рисунке, пусть мизинцу соответствует угол 0 , следующим пальцам– 30 , 45, 60 и 90 . Так же присвоим им номера: мизинец №0, следующие №1, №2, №3, №4. Чтобы найти синус, используем формулу: = . А для косинуса нумерацию будем вести от большого пальца, выполняя вычисления по той же формуле. = .

Например, = , = = .

А тангенс можно вычислить по формуле: tg = .

Тангенсы и котангенсы, также как и синусы, косинусы, можно определить по единичной окружности. Для этого познакомимся с ещё одним понятием.

На единичной окружности касательная, проведенная к точке (1; 0) называется линией тангенсов. Касательная, проведенная к точке (0; 1) - линия котангенсов (рис. 5).

Рисунок 5 – линия тангенсов и линия котангенсов

Например, чтобы найти tg , находим пересечение радиус-вектора под углом с линией тангеса. Это число , или .

Чтобы найти ctg , радиус-вектор под углом должен пересечь линию котангенсов.

Это число .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 7.

Решить уравнение =0.

Синусом угла является ордината точки, поэтому значения синусов находим по оси Оу. Найдем точки А (1; 0) и С (-1; 0) с ординатой 0 и запишем, каким числам х они соответствуют. Они соответствуют числам 0 (точка А), (точка С), 2

Решением уравнения = 0 являются х = . Z- множество целых чисел.

Пример 8.

Решить уравнение =1.

Найдем точки с абсциссой 1 и запишем, каким числам х они соответствуют. На рис.3 мы видим эту точку: А (1; 0) Она соответствуют числу и всем числам вида

Решением уравнения = 1. являются х = , где .

Таблица 1.

Домашнее задание:

- посмотреть учебный фильм «Определение синуса, косинуса и тангенса угла»

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6019/main/199185/

- записать основные понятия, таблицу 1, сделать конспект по теме, решить задания и оформить их решение:

1.Найти sin 270⁰, cos 270⁰ и с tg 270⁰.

2.Решить уравнение sin x =1.

Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 332; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!