Сравнение бесконечно малых функций.
ЛЕКЦИЯ № 6
Раздел 2. Математический анализ.
Тема: Предел функции. Теоремы о пределах.
Цели: усвоить понятие предела функции, свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций, рассмотреть теоремы о пределах..
План.
1. Предел функции
2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
3. Теоремы о пределах.
4. Сравнение бесконечно малых функций.
Предел функции.
Число А называется пределом функции f (x) при х →а, если для произвольного числа 
, можно указать такое число 
, что для какого либо х, которое удовлетворяет неравенству 
, выполняется неравенство 
.
В таком случае пишут 
.
Существует понятие левостороннего (если х принимает только значения меньше чем а) и правостороннего предела функции (если х принимает значения больше чем а):
; 
.
2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция f (x) называется бесконечно малой при х →а, если ее предел равен нулю 
.
Функция f (x) называется бесконечно большой при х →а, если ее предел равен бесконечности 
.
Рассмотрим свойства бесконечно больших и малх функций.
1) Если функции 
и 
- бесконечно малые при х →а , то их сумма тоже есть бесконечно малая величина.
2) Произведение бесконечно малой функции на ограниченную является бесконечно малой функцией.
3) Произведение конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой величиной.
4) Если к бесконечно большой функции прибавить ограниченную, то их сумма является величиной бесконечно большой.
|
|
|
5) Частное ограниченной функции на бесконечно большую, равно нулю.
6) Функция, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой.
7) Функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.
Обратим внимание, что между бесконечно малой функцией и функцией, имеющей конечный предел, существует зависимость:
если функция имеет конечный предел при х →а , то ее можно представить в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при х →а
Имеет место и обратное утверждение: если функция может быть представлена в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при х →а , то эта функция имеет конечный предел, который равен значению постоянной.
Теоремы о пределах.
Теорема 1.
Если функция имеет конечный предел при х →а , то этот предел единственный.
Теорема 2.
Если существуют пределы функций и при х →а , то существуют также и пределы их суммы и разности:
.
Теорема 3.
Если существуют пределы функций и при х →а , то существует и предел их произведения:
.
Теорема 4.
Если существуют пределы функций и при х →а , и предел функции не равен нулю, то существует также и предел их частного:
|
|
|
.
Следствия.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
2. Если п натуральное число, то: 
, 
.
3. Предел многочлена равен значению этого многочлена при х=а .
Рассмотрим две важные формулы, которые значительно облегчают вычисление пределов функций:
Первый замечательный предел:
.
Второй замечательный предел:
, или 
.
Сравнение бесконечно малых функций.
Две бесконечно малые функции сравниваются между собой с помощью исследования их отношения. Пусть функції и - бесконечно малы при х →а, тогда:
1) если 
, то функции та считаются бесконечно малыми одного порядка;
2) если 
, то функция считается бесконечно малой высшего порядка чем ;
3) если 
, то функция считается бесконечно малой высшего порядка чем .
Задания для закрепления
Пример . Вычислить предел функции:
1) 
.
2) 
3) 
.
4) 
.
5) 
.
Литература:
В.П.Дубовик, И.И.Юрик «Высшая математика», К., 2003, ст.149-175.
Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 46; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!