ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО – ГАУССА.

Пусть - область. В G задано векторное поле .

В декартовой системе координат .

Df.1 , т.е. существуют все частные производные и они непрерывны в G .

Df.2 Дивергенцией (расходимостью) векторного поля в точке M ( x , y , z ) называется скаляр:

(1)

Отметим, что операция ставит в соответствие векторному полю скалярное поле , определенное в G.

Дивергенция в заданной точке характеризует мощность источников и стоков в данной точке.

Те точки, где > 0 называются источниками поля, а те где < 0 – стоками.

Абсолютная величина дивергенции характеризует производительность (интенсивность) источников и стоков. Если , то в точке М нет ни источника, ни стока.

Th.1 ( ОСТРОГРАДСКОГО - ГАУССА )

Пусть область можно представить в виде объединения конечного числа областей , каждая из которых является одновременно:

-цилиндром, - цилиндром и -цилиндром, тогда - кусочно-замкнутая гладкая поверхность. ограничивающая G . Поле .

Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса:

(2)

* Причем, поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности.

Доказательство:

Скалярный вид формулы Остроградского – Гаусса:

(3)

Пусть в G z- цилиндроид, т.е.:

Тогда: -гладкие.

Докажем формулу:

(4)

= (по теореме 5 и формуле (9))= .

Пусть теперь G является также и - цилиндроидом и -цилиндроидом. Тогда аналогично можно показать, что:

(5)

(6)

Суммируя (4), (5) и (6) получим (3).

Пусть теперь G – объединение областей указанного типа: .

- гладкая. тогда:

(*)

(**)

- две стороны одной поверхности (с нормалями ). Отсюда скалывая, получим:

формула (2).

Заметим, что теорема Остроградского – Гаусса справедлива для областей более общего вида.

СЛЕДСТВИЕ.

- область, инвариантен относительно системы координат, т.е. не зависит от выбора системы координат.

Доказательство:

. Пусть - открытая область, для которой верна теорема Остроградского – Гаусса. , - замкнутая поверхность. ограничивающая H . Тогда:

По теореме о среднем для кратных интегралов:

Отметим, что , т.к. .

(***)

Перейдем в (***) к при . В силу непрерывности , получим:

(7)

Т.к. поток и не зависят от системы координат не зависит от выбора системы координат. Из (7) физический смысл . Пусть - скорость жидкости. - средняя объемная плотность потока жидкости через поверхность , ограничивающая область H с объемом V .

- плотность источника в точке .

Из (7) , что при > 0 – сток, =0 – источник отсутствует.

Таким образом в какой-нибудь точке равен потоку векторного поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую данную точку, отнесенному к единице объема.

Df.2 Пусть определено в G, называется соленоидальным в G, если .

Th.2 (НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ

СОЛЕНОИДАЛЬНОСТИ ПОЛЯ )

Пусть G – область, для которой возможно применение формулы Остроградского – Гаусса. - замкнутая кусочно-гладкая, , тогда соленоидально в G .

Доказательство:

Необходимость:

Пусть соленоидально в G . Пусть - область допускающая применение формулы Остроградского – Гаусса. Тогда по (7):

в G .

Достаточность:

Пусть . Пусть - допускает применение формулы Остроградского – Гаусса, по ней:

соленоидальное.

ФОРМУЛА СТОКСА.

Df.1 Пусть , - область, векторное поле . Ротором (вихрем) векторного поля называется:

(1)

(1) операторная форма записи . Для того, чтобы получить обычную запись необходимо рассмотреть определитель. При этом нужно понимать:

и т.д. Тогда:

Очевидно, операция ставит в соответствие векторному полю векторное поле , определенное в G.

Th.1 (ТЕОРЕМА СТОКСА)

Пусть , G – область. - кусочно-гладкая; - кусочно-замкнутый контур, ограничивающий П. Тогда:

(3)

(3) – формула Стокса.

(Б/д).

При этом сторона поверхности и направление обхода контура согласованы. Как правило, обычно выбирается внешняя сторона П.

Th.2 (ТЕОРЕМА ГРИНА)

Пусть , - область, - кусочно-гладкая граница D , ориентированная против часовой стрелки; , тогда:

(4)

(4) – формула Грина.

(Б/д).

Покажем, что (4) – есть частный случай формулы Стокса. Причем это нельзя считать доказательством, т.к. при доказательстве (3) используется (4).

Итак: плоскость П зададим так: .

Тогда , кроме того .

Из (3)

(по теореме о сведении поверхностного интеграла II-го рода к двойному)

Здесь , очевидно , т.е. С=1. Итак:

СЛЕДСТВИЕ ИЗ Th .1

Пусть , G-область, определен в G и инвариантен относительно системы координат.

Доказательство:

D ● G

●

Рассмотрим направление, задаваемое . П – плоскость, перпендикулярная , проходящая через точку .

Пусть D – поверхность: .

Г – граница (кусочно-гладкая) поверхности D. Направление обхода D согласовано с . Применим формулу Стокса для поверхности D с нормалью и границей Г:

где = , - проекция на направление . По теореме о среднем для поверхностного интеграла I-го рода:

, что

(*)

Отметим, что - непрерывное векторное поле.

Перейдем в (*) к пределу при ( , ). В силу непрерывности найдем:

Т.к. и не зависят от выбора системы координат, то не зависит от выбора системы координат инвариантен относительно выбора системы координат. (Достаточно взять три неколлинеарных вектора и считать, что , проекции на . Есть его координаты).

СЛЕДСТВИЕ 2.

Пусть (т.е. и они непрерывны в G) определяет соленоидальное поле в G, т.е. .

САМОСТОЯТЕЛЬНО.

Действительно .

§ 5. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА II-ГО РОДА ОТ ФОРМЫ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.

Пусть векторное поле непрерывно в G; /

Df.1 Выражение (1) называется полным дифференциалом в G, если , что:

(2)

т.к. , то (1) – полный дифференциал если и

(3)

Напомним, что для :

(4)

тогда очевидна следующая Лемма:

(1) – полный дифференциал и .

Доказательство следует из (3) и (4).

Имеют место следующие утверждения:

1) полный дифференциал в G.

2) , что .

3) не зависит от формы пути, - кусочно-гладкая.

4) - замкнутого кусочно-гладкого, :

Df.2 G- область. Обозначим D – область в G, - граница области (замкнутый простой контур в или поверхность в ). Тогда G – односвязная .

Односвязное

G D

Неодносвязное

Th.1 Пусть векторное поле определено в односвязной области G, , тогда условия (1), (2), (3) и (4) равносильны.

Доказательство:

Для доказательства введем два вспомогательных утверждения:

(3’) - ломанной, не зависит от формы пути.

(4’) - замкнутой простой ломанной, .

Доказательство проведем по следующей схеме:

(1)

(3’) (4’)

Отсюда будет следовать, что все условия эквивалентны.

Отметим, что (1) (2) доказано Леммой. Далее ограничимся рассмотрением плоского случая, т.е. .

а) (1) (3)

Дано: - полный дифференциал, т.е. , что .

●

Пусть - гладкая кривая. .

= =

= .

Пусть теперь - кусочно-гладкая:

+ .

Таким образом, также дается формула вычисления , если подынтегральное выражение полный дифференциал.

б) (3) (4)

Пусть не зависят от формы пути. Рассмотрим любой контур Г – замкнутый кусочно-гладкий, .

●

● ●

●

По свойству кратного интеграла II-го рода не зависит от начальной точки. , тогда: .

в) (4) (4’)

Это очевидно, т.к. замкнутая ломанная – частный случай кусочно-гладкой кривой.

г) (4’) (3’)

Ограничимся случаем непересекающихся ломанных.

Дано: - замкнутой ломанной .

Доказать: - ломанной, соединяющей A и B не зависит от формы пути.

Пусть - две произвольные ломанные, тогда:

разобьем: .

Можно доказать, что все останется в силе, если ломанные пересекаются.

д) (3’) (1)

Дано: - ломанной, не зависит от формы пути.

Доказать: что

Доказательство существования проведем построением.

● ●

0 x

, т.к. G открыто, то , что

. Возьмем . Определим

= . Это можно сделать, т.к. интеграл не зависит от формы пути и при фиксированной точке А зависит только от конечной точки В( x , y ).

Найдем:

= .

Т.к. Р( x , y ) непрерывная в G следовательно по теореме о среднем:

, причем при ,

Аналогично показывается, что полный дифференциал.

СЛЕДСТВИЕ.

Доказательство теоремы позволяет установить метод отыскания U ( x , y , z ).

Пусть .

●

● ●

Df.3 Векторное поле , определенное в G, называется потенциальным, если оно удовлетворяет любому из равносильных условий (1), (2), (3) и (4); U называют потенциалом (потенциальной функцией) поля .

Очевидно, что U ( M ) определяется с точностью до константы.

Th.2 Пусть , G – односвязная область. Тогда потенциально в G .

Доказательство:

Необходимость.

Пусть потенциально в G. - замкнутая кусочно-гладкая граница: .

- произвольный нормальный вектор из точки к плоскости, содержащей кривую Г.

●

По инвариантному определению :

Т.к. произвольного направления, то пусть

Достаточность.

Пусть . - замкнутой - поверхность, что (по теореме Стокса) - потенциально.

Df.4 Пусть векторное поле называется бизвихревым в G если .

Тогда теорему 2 можно переформулировать (перефразировать) следующим образом:

- потенциальное безвихревое.

Таким образом, отсутствие вихрей является и необходимым и достаточным условием потенциальности поля.

Следует отметить, что необходимым и достаточным условием потенциальности поля является также равенство нулю циркуляции поля по любому замкнутому контуру.

Следует иметь ввиду, что приведенные выше рассуждения справедливы только в случае, когда поле определено во всех внутренних точках контура Г. Если же хотя бы в одной внутренней точке некоторого замкнутого контура поле не определено, то циркуляция по этому контуру может и не обращаться в нуль, хотя поле и потенциально.

Рассмотрим еще одно векторное поле – так называемое соленоидальное, или трубчатое поле.

Df.5 Поле вектора называется соленоидальным или трубчатым, если в каждой точке поля .

Или имея в виду физический смысл , можно сказать, что соленоидальное поле – это такое поле, в котором нет источников и стоков.

Примером соленоидального поля является поле вихря вектора .

Основное свойство соленоидального поля состоит в том, что в нем векторные линии не могут нигде ни начинаться, ни кончаться, они могут уходить в бесконечность или быть замкнутыми.

ПРИМЕР.

Проверить на потенциальность поле: . Найти потенциал и вычислить , где и .

Решение:

Очевидно, - имеют производные любого порядка в , т.е. .

а) Проверка потенциальности:

= поле потенциально.

б) Определяем потенциал:

1 способ.

●

● ●

= , где .

2 способ.

;

Итак:

в) .

§ 6. ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ II-ГО ПОРЯДКА.

СИМВОЛИКА ГАМИЛЬТОНА.

В предыдущих параграфах мы ввели понятия: вектора , характеризующего скорость изменения скалярного поля; производную по направлению , характеризующую скорость изменения величины в направлении l; скаляра , вектора , характеризующих плотность источников и вращательную способность векторного поля. Были указаны формулы для вычисления этих величин в декартовых координатах.

Пусть - скалярное поле, - векторное поле.

Где - единичный вектор в направлении .

2) - скаляр.

3) - вихрь вектора , являющийся вектором.

Известным английским математиком Гамильтоном было замечено, что все эти (и многие другие) операции можно записать кратко при помощи следующего символического вектора – оператора (читается «набла», оператор Гамильтона).

Проекции символического вектора оператора Гамильтона – суть.

Сам вектор не имеет реального смысла, но результат его применения, как оператора к скалярным или векторным функциям (величинам) дает вполне реальную физическую величину.

Тогда символически (обращаясь с как с вектором в прямоугольной декартовой системе координат и понимая запись ) операции 1), 2), 3) которые называют операциями I-го порядка можно записать в виде:

Таким образом, под символическим произведением вектора на скаляр понимается вектор с координатами:

3) Найдем векторное произведение символического вектора:

на вектор - есть вектор.

= - это вектор, который называют вихрем поля . от английского слова - вращение.

Производную по направлению можно записать в виде:

и вообще .

Таким образом, операции первого порядка могут быть единообразно записаны с помощью символического вектора набла.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Векторные операции I-го порядка линейны относительно своих аргументов.

Доказательство:

Следует из линейности дифференцирования и скалярного и векторных произведений.

НАПРИМЕР.

Заметим также, что соотношения, содержащие не зависят от выбора системы координат (это доказано для ).

Многие формулы векторного анализа легко выводятся при использовании символического вектора . Нужно понимать, что на функции и векторы, стоящее справа от , этот оператор действует как дифференциальный, а функции и векторы, стоящие слева от , перемножаются с как с обычным вектором по правилам векторной алгебры. В результате такого умножения получается новый дифференциальный оператор.

Применяя, оператор к произведениям векторов и скаляров, будем пользоваться следующим правилом:

1. Если оператор действует на какое-либо произведение, то в первую очередь учитывается его дифференциальный характер, а затем уже векторное свойство.

2. Чтобы отметить тот факт, что не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом или «стрелкой» (например ), который в окончательном результате может быть снят.

3. Все величины, на которые оператор не воздействует, в окончательном результате ставятся впереди , т.е. слева от него.

Так, например, в оператор есть оператор дифференцирования

функции одной переменной и тогда правило нахождения производной произведения сводится:

ЗАМЕЧАНИЕ.

Под дифференциальными операциями II-го порядка понимаются операции, в которых символ встречается дважды. При этом формулы векторной алгебры считаются справедливыми при замене обычного вектора символическим вектором .

Усвоим некоторые элементы техники обращения с оператором .

Вы можете проверить получающиеся формулы в координатах.

1) Пусть , тогда

Наряду с обозначениями векторного произведения будем использовать и .

Нами будет использовано и двойное векторное произведение, известное вам из аналитической геометрии (1 семестр):

= .

= .

7) .

Вектор поэтому скалярное произведение равно 0, т.е. . Т.е. поле вихря вектора не имеет источников и стоков.

8) .

Т.к. векторы и параллельны, т.е. поле вектора безвихревое.

9) .

10) Наряду с используют оператор Лапласа или Лапласиан.

Df. Оператором Лапласа или Лапласианом называется закон образования дивергенции от вектора :

физический смысл. Численное значение Лапласиана определяет плотность источников (если ) или стоков (если ) векторного поля .

Справедлива формула:

, где символ , так что .

Df. Скалярное поле , удовлетворяющее условию , называется лапласовым или гармоническим полем.

Дифференциальные операции II -го порядка можно для наглядности записать в виде таблицы:

Скалярное поле	Векторное поле

----------------------------		----------------------------------
	-----------------
	-----------------

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН ПОЛЯ

Наименование величины и обозначение	Определение или запись с помощью операторов Гамильтона и Лапласа	Формула записи в декартовых координатах
-1-	-2-	-3-
Градиент скалярного поля
Расходимость векторного поля ;
Поток векторного поля П	; в частности через замкнутую поверхность S : (Теорема Остроградского)
Ротор векторного поля ;		+
-1-	-2-	-3-
Работа (линейный интеграл) векторного поля вдоль контура ; W	где	. +
Циркуляция векторного поля вдоль контура l. Ц	.	+ + .
Циркуляция векторного поля вдоль контура l. Ц		+ + .