Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Понятие комплексного числа

Числа вида a + bi , где a;b – действительные числа, число i определяется равенством i² = - 1, называются КОМПЛЕКСНЫМИ числами.

Примеры: 3+2i; -7+I; 5-8i; -2-4i; ½ + (3/2)i и т.п.

i – мнимая единица. z - комплексное число.

z = a + bi –алгебраическая форма комплексного числа.

а – действительная часть комплексного числа(Re z)

b – мнимая часть комплексного числа(Im z).

0 = 0 + 0i – комплексный ноль

1 = 1 + 0i – действительная единица

i = 0 + i - мнимая единица

Представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве. Комплексное число – это двумерное число.

a + bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: z = bi + a или z = a + ib – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: z = a + bi

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

R -множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой C. Поэтому на чертеже следует поставить букву C, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей: Re z – действительная ось Im z – мнимая ось

Правила оформления чертежа такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно задать масштаб, отмечаем ноль, единицу 1 по действительной оси, единицу I по мнимой оси.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, ,
, ,
, , ,

Алгебраическая форма комплексного числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

z = a + bi - это алгебраическая форма записи комплексного числа.

Действия с комплексными числами в алгебраической форме основаны на алгебраических преобразованиях (приведение подобных слагаемых, группировка, вынесение за скобки общего множителя, раскрытие скобок и т.п.)

Рассмотрим два комплексных числа z₁= a₁+ b₁ i и z₂ = a₂+ b₂ i

1. z₁=z₂ ↔ a₁=a₂ и b₁=b₂

2. z₁+z₂ = (a₁+b₁i) + (a₂+b₂i) = a₁+b₁i+a₂+b₂i = (a₁+a₂)+(b₁+b₂)i

3. z₁-z₂ = (a₁+b₁i) - (a₂+b₂i) = a₁+b₁i-a₂-b₂i = (a₁-a₂)+(b₁-b₂)i

4. z₁∙z₂ = (a₁+b₁i)( a₂+b₂i) = a₁a₂+a₁b₂i+b₁ia₂+b₁b₂i²= (a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+b₁a₂)i

z₁	=	a₁+b₁i	=	(a₁+b₁i)( a₂-b₂i)
z₂	=	a₂+b₂i	=	(a₂+b₂i)( a₂-b₂i)

Примеры :

1). z₁= 2 – 3i; z₂=6+2i

z₁ + z₂ = 2 – 3i + 6 + 2i = 8 – i

z₁ – z₂ = 2 – 3i – 6 – 2i = - 4 – 5i

z₁∙z₂ = (2 – 3i)(6 + 2i) = 12 + 4i – 18i – 6i² = 12 – 14i + 6 =18 – 14i

z ₁ = 2 – 3i = (2 – 3i)(6 – 2i) = 12 – 4i – 18i + 6i² = 12 – 22i – 6 = 6 – 22i =6– 22i

z₂ 6 + 2i (6 + 2i)(6 – 2i) 36 – 4i² 36 + 4 40 40 40

2). z₁ =5 – i; z₂= 1- i; z₃= 3+2i

2z₂– z₃= 2(1-i) – (3+2i) = 2 - 2i – 3 - 2i = -1 – 4i

5z₁+ z₂ = 5(5- i) + 1 – i = 25 – 5i + 1 – i = 26 – 6i

Выполнить самостоятельно :

z₁ = 3 – 4i; z₂ = 4 + i; z₃ = - 2 + 3i;

Найти : z₁+ 3z₃; z₂– z₃; 2z₁ + 3z₂; z₁∙z₂; z₂∙z₃; z₂ : z₁; (z₁ + 3z₃): z₂

Решение квадратных уравнений.

Пример 1.

x² + 1 = 0 ; x² = - 1 = i² ; x = ±√i²= ±i ; x₁ = -i;x₂ = i

Пример 2.

x² + 36 = 0; x² = - 36 = 36i²; x = ±√36i² = ±6i; x₁ = - 6i;x₂ = 6i;

Пример 3.

x² + x + 2 = 0;

D = b² – 4ac = 1² - 4∙1∙2 = - 7 = 7i²;

x₁= (-b - √D):2a = (-1 - √7 i): 2 = -1/2 - √7/2 i;

x₂= (-b + √D):2a = (-1 +√7 i):2 = -1/2 + √7/2

Выполнить самостоятельно :

Решить уравнение:

1). х² + 4 = 0; 2). х² + х + 3 = 0; 3). х² – 2х + 5 = 0;

4). х² – 7х + 20 = 0; 5). х² + х + 7 = 0

Выполнить самостоятельно:

Вариант 1

1. Решить уравнение:

а). х² + 25 = 0; б). х² – 6х + 10 = 0; в). х² + х + 1 = 0; г).х² – 2х + 4 = 0

2. Вычислить:

[(z₁ + 2z₂)∙z₃]:(z₁∙z₂), если z₁ = 5 + i, z₂ = -1 – i, z₃ = 7 – i

Вариант 2

1. Решить уравнение:

а). х² + 9 = 0; б). х² – 2х + 6 = 0; в). х² – 4х + 16 = 0; г). х² – 3х + 5 = 0

2. Вычислить:

[(z₁ + 2z₂)∙z₃]:(z₁∙z₂), если z₁ = 3 + i; z₂ = -2 + i ; z₃ = 8 + i

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа. Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что :

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. модуль – это длина радиус-вектора. Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или .По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «b».

Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат.

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: . Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или .

Модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.

Примеры:

1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Обратное проверочное действие:

2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (или 90 градусов). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (или 180 градусов). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Проверка:

4) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно: . Проверка:

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов). Легко заметить, что и – это один и тот же угол.