Поверочные и проектные расчеты

КРУЧЕНИЕ

Основные понятия

Крутящие моменты T в поперечных сечениях бруса обычно возникают под действием внешних моментов Т _e. Вращающийся стержень, подверженный преимущественно кручению, называется валом. Внешние моменты передаются на вал, как правило, в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п. Если непосредственно вблизи от этих мест помещены опоры, то можно пренебречь сравнительно небольшим влиянием изгиба и рассчитывать вал только на кручение.

Рис. 9.1 Рис. 9.2

Для получения наглядного представления о деформации возьмем резиновый круглый цилиндрический брус с нанесенной прямоугольной сеткой, составленной семейством концентрических окружностей и образующими. Закрепим один конец и приложим к другому момент Т _e (рис.9.1). Полученная в результате деформирования сетка из параллелограммов свидетельствует о величине сдвига. Окружности остаются неизменными, и расстояния между ними не меняются. На основании гипотезы плоских и жестких сечений (см. п. 7.1) каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Радиусы всех сечений будут поворачиваться, оставаясь прямолинейными. Тем самым можно предположить, что характер деформаций, наблюдаемых на поверхности, будет таким же и внутри бруса на любой цилиндрической поверхности, концентричной с наружной.

Для установления геометрических соотношений рассмотрим элемент бруса (см. рис. 9.1) между сечениями I-I и II-II (сечение I-I условно закреплено) и сконцентрируем внимание на линии АВ′ и радиусе O В′, которые до деформации занимали положение АВ и O В (рис. 9.2). Поворот образующей АВ связан с из-

менением положения радиуса OB. Угол d называется углом закручивания.

Перемещение точки С на радиусе ОВ связано с поворотом образующей DC

цилиндра произвольного радиуса ρ. Сопоставим длину дуги СС′ из двух вычислений:

dx γ_θx = ρd ,

откуда

γ_θx = (d / dx)ρ.

Относительный угол закручивания назовем кривизной кручения и обозначим k_t. Таким образом, имеем

k_t = d / dx , γ_θx = k_t ρ.

Напряженно-деформированное состояние круглого бруса

Для чистого кручения круглого цилиндрического бруса задаются следующие условия (используем цилиндрическую систему координат, см.рис.9.2): 1) в плоскости, касательной к цилиндрической поверхности, имеет место чистый сдвиг (γ_x_θ= const); 2) отсутствуют линейные деформации (ε_х = ε_ρ = ε_θ= 0), а следовательно, и нормальные напряжения и соответствующие им внутренние усилия в поперечных сечениях бруса (продольная сила и изгибающие моменты); 3) кривизна кручения в точках поперечного сечения сохраняет постоянное значение; 4) физический закон – закон Гука при сдвиге; 5) задан крутящий момент Т, Q_y = Q_x = 0. При заданных условиях по всей длине бруса соблюдается симметрия относительно оси х (осевая, круговая), заключающаяся в том, что при обходе в каждом сечении по дуге окружности угол сдвига γ_x_θ не меняет величину и направление. Значит, в точке ρ = 0 имеем γ_x_θ = 0, τ_x_θ = 0.

Для определения характеристик скручиваемого бруса k_t , γ_x_θ_,τ_x_θ и привлекаем зависимости по трем законам деформирования:

За основное неизвестное принимаем k_t. На основании двух последних зависимостей получаем τ_θ_x = Gγ_θ_x = Gk_tρ. По закону парности касательных напряжений τ_х_θ = τ_θ_x = Gk_tρ. Подставим это значение в интегральную формулу

откуда

k_t = T/(GI _Р) .

Следовательно,

γ_x_θ= (Tρ)/(GI _Р) , τ_х_θ = (Tρ)/ I _Р.

Наибольшее напряжение (на контуре сечения) равно

τ _{мах х}_K_t = (Т r)/I _Р = T / W _Р,

где W _Р - полярный момент сопротивления кругового сечения,

W _Р= (πr ³)/2.

Дифференциальное уравнение углов закручивания имеет вид

d /dx = T/(GI_P).

Его интеграл

= ∫[T/(GI_P)]dx + С = (Tx)/(GI_P) + С.

Из условия: при х = 0, = (0) следует, что С = (0), и следовательно,

= (Tx)/(GI_ρ) + (0).

Анализ полученного решения приводит к следующим выводам:

1. Кривизна кручения остается постоянной по длине бруса.

2. Напряжения τ_х_θ не меняют своего закона по длине бруса и являются функцией только координаты ρ. На торцах на основании статического граничного условия они трансформируются в распределенную линейно вдоль радиусов нагрузку, которая и соответствует рассмотренной деформации.

3. Кривизна кручения и деформация сдвига пропорциональны величине GI_P, называемой жесткостью при кручении.

Поверочные и проектные расчеты

Условие безопасной прочности при кручении имеет вид

τ_мах = T/W_p ≤ τ_adm.

Касательные напряжения действуют не только в поперечных сечениях бруса, но и в продольных, образуя двухосное напряженное состояние – чистый сдвиг. Он не будет однородным, поскольку величина изменяется по радиусу поперечного сечения. Касательные напряжения в продольных сечениях могут быть причиной разрушения анизотропного материала. Древесина, как известно, имеет сравнительно низкую прочность на скалывание вдоль волокон. Поэтому разрушение деревянного образца при кручении начинается с образования продольных трещин.

В наклонных же сечениях стержня действуют нормальные и касательные напряжения. Наибольший интерес представляют главные напряжения σ₁= σ_max = τ и σ₃= σ_min = – τ с углом наклона площадок к оси бруса 45º и 135º. Опыты показывают, что хрупкие материалы при кручении разрушаются по винтовой поверхности, наклоненной к оси вала под углом 45º. Именно перпендикулярно этой поверхности действуют наибольшие растягивающие напряжения.

Как видно из сказанного, помимо выполнения основного условия прочности, требуется обращать внимание на дополнительные проверки безопасности напряженного состояния.

При заданных величинах τ_adm и размерах сечения допускаемый крутящий момент равен

T_adm ≤ τ_adm W_P.

Для подбора сечения из условия прочности используется зависимость

W_P ≥ T/τ_adm.

Для круглого поперечного сечения

W_P = (πr³)/2 = (πd)³/16 ≈ 0,2d ³,

поэтому можно определить непосредственно минимальный диаметр сечения:

Эпюра τ при кручении показывает, что материал бруса рационально используется только в периферийной зоне. Поэтому можно получить значительную экономию материала, удаляя слабо напряженную внутреннюю часть, т.е. изготовляя вал полым. Однако практически это возможно лишь до известного предела, поскольку чрезмерно тонкие стенки неустойчивы.

Момент сопротивления трубчатого вала равен

Определение наружного и внутреннего диаметров сечения ведется методом последовательных попыток (либо задаются их соотношением).

В тонкостенной трубе практически во всех точках стенки возникают одинаковые напряжения, т.е. в этом случае напряженное состояние будет практически однородным. Вот почему опыты с кручением таких труб используют обычно для изучения чистого сдвига и, в частности, для установления предела текучести при сдвиге.

При совмещении кручения с другими деформациями проверка прочности ведется по приведенному напряжению:

σ_red ≤ σ_adm.

При проектировании валов размеры их сечений назначаются так, чтобы не только удовлетворялось условие прочности, но и обеспечивалась в целях нормальной эксплуатации достаточно малая кривизна кручения. Условие жесткости имеет вид

k_t = T/(GI_P) ≤ k_t _adm (рад/м),

где k_t _adm – допускаемая кривизна кручения в радианах на единицу длины вала, или

(град/м),

где k_t _adm задается в градусах на единицу длины вала(допускаемый относитель-ный угол закручивания).

Величина k_t _adm устанавливается техническими условиями. Для разных конструкций и для различных режимов работы вала она колеблется в доволь-но широких пределах: k_t _adm= (0,26...3,5)10^-2 рад/м, или k_t _adm = (0,15...2,0) град/м.

Допускаемый крутящий момент из условия жесткости для сплошного вала равен

T_adm ≤ GI_Pk_t _adm, или T_adm ≤ (πGI_Pk_t _adm)/180.

Диаметр вала вычисляется по формулам: а) в случае сплошного сечения

или

б) в случае кольцевого сечения

или

Модуль сдвига в случае сплошного вала определяется по формуле

G ≥ T/ (I_Pk_t _adm),

или

G ≥ (180T)/ (πI_Pk_t _adm).

Из проектных расчетов по условиям прочности и жесткости берутся наибольшие значения d и G и наименьшая величина Т _adm. Диаметр округляется до ближайшей большей стандартной величины.

9.4 Практикум

Примеры

1.На участке сплошного круглого вала D=10см действует крутящий момент Т=8 кHм. Проверить прочность и жёсткость вала, если τ_adm=50 МПа, К_t _adm=0.5 и модуль сдвига G=0.8 ⁵МПа.

Решение. Условие безопасной прочности

где W_p= =196 см³ ,       что меньше τ_adm.

          K_t= =1.02 .

Выразив K_t в размерности , получим

                  K_t=1.02 =1.02 =0.58 ,

что превышает величину допускаемого относительного угла закручивания K_t _adm=0.5 на 16%. Следовательно – прочность вала обеспечена

                             τ_м_ax=40.75МПа < 50МПа,

а жёсткость не обеспечена.

2. Стальной вал кольцевого сечения D=10см, d=8см. нагружен моментом, вызвавшим τ_мах=τ_adm=70МПа. Что произойдёт, если этот вал заменить сплош-ным круглым валом диаметром 8см. (материал сохранён).

Решение. Максимальные касательные напряжения в вале .

Для кольцевого сечения W_р= , а для вала сплошного сечения W_р= . По условию для вала кольцевого сечения τ_мах=70 МПа, очевидно, что для вала сплошного сечения максимальные напряжения будут больше во столько раз, во сколько его момент сопротивле-ния меньше.

         τ =τ 70

3. Для сплошного овала (задача №2) определить появились ли пласти-ческие деформации, если известно, что n_adm=1.8?

Решение. Для пластичных материалов n_adm= , следовательно

                        τ_у =70 .

Действующие напряжения превысили предел текучести, следовательно появились пластические деформации.

Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 86; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!