Реальное дифференцирующее звено

(дифференцирующее инерционное)

Звено любой физической природы, описываемое дифференциальным уравнением вида

(47)

называется реальным дифференцирующим звеном или дифференцирующим инерционным.

Его передаточная функция, полученная из уравнения (47) после его преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях

(48)

имеет вид:

(49)

Из выражения передаточной функции, представленной в виде следующего произведения

(50)

где , становится понятным название звена. Звено можно рассматривать как последовательное соединение идеального дифференцирующего звена с передаточной функцией и апериодического (инерционного) звена первого порядка с передаточной функцией

а потому оно проявляет свойства и того и другого звена, что и отражается в названии.

Выведем уравнение переходной функции звена. Из уравнения (48) изображение входного сигнала имеет вид:

Подставим в него изображение единичного ступенчатого входного воздействия x_вх(p) = 1/p, получим

(51)

Для удобства нахождения оригинала выражение (51) представим в виде:

Тогда по таблицам преобразования Лапласа оригинал переходной функции будет иметь вид:

(52)

График переходной функции, построенный по уравнению (52), представлен на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5. Переходная функция реального дифференцирующего звена.

Рисунок 2.6. Амплитудно-частотная характеристика реального дифференцирующего звена.

Из графика мы видим, что при ступенчатом входном воздействии выходная величина звена изменяется во времени по импульсному закону. Передний фронт импульса - мгновенный скачок из 0 (начала координат) (напомним, что установившийся режим, существующий до возникновения возмущения, в ТАУ принимается за 0 - начало отсчета изменений выходной величины в динамике) до значения . Задний фронт импульса – инерционный, по закону экспоненты .

Учитывая, что данное звено представляет собой последовательное соединение идеального дифференцирующего звена и апериодического звена 1-о порядка, для нахождения АЧХ и ФЧХ данного звена удобнее всего воспользоваться правилом последовательного соединения звеньев, а именно: перемножить амплитудно-частотные характеристики и сложить фазочастотные. Формулы АЧХ и ФЧХ идеального дифференцирующего звена были выведены в разделе 2.1., а для апериодического звена - в работе [1].

Поэтому АЧХ и ФЧХ реального дифференцирующего звена будут соответственно:

(53)

(54)

Анализ амплитудно-частотной функции (53) показывает, что при , а при - .

График этой функции показан на рисунке 2.6. Из графика видно, что звено можно назвать резонатором высоких частот, т.к. чем выше частота входного сигнала, тем больше значение АЧХ.

График фазочастотной функции (54) представлен на рисунке 2.7. Он показывает, что при всех частотах звено даёт опережение по фазе выходного сигнала по отношению к входному, что свойственно всем звеньям дифференцирующей группы. Максимальный фазовый сдвиг при низких частотах близок к , но с ростом частоты входного сигнала опережение по фазе уменьшается, а при близко к нулю.

Рисунок 2.7. Фазочастотная характеристика реального дифференцирующего звена

Рисунок 2.8. Амплитудно-фазовая характеристика реального дифференцирующего звена

Проанализируем амплитудно-фазовую характеристику звена. Из выражения (49) традиционным способом нетрудно вывести формулы для вещественной и мнимой частотных характеристик

Таким образом:

(55)

(56)

Найдём в явной форме зависимость , воспользовавшись методом, который был применен для апериодического звена первого порядка в работе [1]. Для этого определим сумму квадратов .

Таким образом, получили следующее:

(57)

Преобразуем выражение (57)

(58)

Дополним подчеркнутое выражение в левой части до полного квадрата

Тогда получим:

(59)

Но теперь можно сделать вывод, что выражение (59) на комплексной плоскости в координатах представляет собой уравнение окружности с центром в точке и радиусом . Причём при положительных коэффициентах звена нас будет удовлетворять в качестве графика АФХ только верхняя полуокружность, т.к. из выражений (55) и (56) видим, что при всех и . График АФХ реального дифференцирующего звена представлен на рисунке 2.8.

Аналогичный результат можно получить, если строить график АФХ либо параметрическим способом, т.е. задаваясь значениями , вычисляя и по формулам (55) и (56), а затем пользуясь декартовой системой координат, либо по рассчитанным ранее значениям и в полярной системе координат.

Форсирующее звено I порядка

(пропорционально-дифференциальное звено)

Его дифференциальное уравнение имеет вид:

(60)

Получим передаточную функцию звена:

(61)

(62)

Из передаточной функции видно, что это звено можно рассматривать как параллельное соединение идеального дифференцирующего звена с и усилительного (пропорционального) звена с , а потому оно сочетает в себе свойства этих двух звеньев.

Переходную функцию найдем, подставляя непосредственно в дифференциальное уравнение (60) математическое описание единичного ступенчатого воздействия , получим:

Учитывая, что производная от единичного ступенчатого воздействия есть единичный импульс, т.е. будем иметь:

(63)

Таким образом, переходная функция звена представляет собой сумму мгновенного импульса площадью и ступенчатой функции с амплитудой .

Изобразить графически такую переходную функцию довольно трудно. Но, применяя условное изображение мгновенных импульсов (в виде стрелки, длина которой в принятом масштабе равна площади импульса) - возможно, что и сделано на рисунке 2.9.

Проанализируем частотные характеристики звена.

Подставляя в , получим , откуда

(64)

(65)

Откуда

(66)

(67)

Рисунок 2.9. Переходная функция форсирующего звена первого порядка.

Рисунок 2.10. Амплитудно-частотная характеристика форсирующего звена первого порядка

Из выражения (66) ясно, что при , а при .

График амплитудно-частотной функции (66), т.е. амплитудно-частотная характеристика, показан на рисунке 2.10.

График АФХ подтверждает свойства дифференцирующих звеньев усиливать высокочастотные сигналы.

Из выражения (67) следует, что при , а при . График ФЧХ показан на Рисунок 2.11. При низких частотах входного сигнала фазовый сдвиг близок к нулю, но чем выше частота, тем больше увеличивается опережение по фазе выходного сигнала по отношению к входному, и в пределе оно составляет .

Рассмотрим амплитудно-фазовую характеристику звена. Из выражений (64) и (65) следует, что при всех частотах, но т.к. , то при , а при .

Это значит, что график АФХ форсирующего звена 1 порядка представляет собой прямую в 1-м квадранте, параллельную оси ординат и проходящую через точку .

Следует отметить, что примером форсирующего звена 1 порядка является применяемый в автоматических системах регулятор с пропорционально-дифференциальным законом регулирования (ПД-регулятор). Передаточная функция этого регулятора аналогична по структуре передаточной функции форсирующего звена (62), но записывается обычно через другие обозначения коэффициентов, а именно

(68)

где S₁- коэффициент настройки пропорциональной составляющей в законе регулирования, а S₂ - коэффициент настройки дифференциальной составляющей.

Рисунок 2.11. Фазочастотная характеристика форсирующего звена первого порядка.

Рисунок 2.12. Амплитудно-фазовая характеристика форсирующего звена первого порядка.

Все динамические характеристики пропорционально-дифференциального (ПД) регулятора аналогичны рассмотренным характеристикам форсирующего звена 1-o порядка.

В заключение раздела по дифференцирующей группе звеньев отметим общие особенности их свойств.

1. Все звенья дифференцируют входное воздействие, поэтому признаком дифференцирующих свойств является присутствие полинома не ниже 1-ого порядка от р в числителе передаточной функции. Переходные функции всех звеньев имеют импульсный характер.

2. Все дифференцирующие звенья усиливают высокочастотные воздействия по амплитуде (т.е. хорошо пропускают высокочастотные воздействия и плохо низкочастотные).

3. Все дифференцирующие звенья дают опережение по фазе выходного сигнала по отношению к входному, т. е. их фазочастотные характеристики положительны.

В природе таких звеньев практически нет. К ним относятся в основном специально создаваемые в автоматике так называемые корректирующие звенья, применяемые для изменения свойств системы в нужном направлении.

Примеры реализации корректирующих звеньев с различными дифференцирующими свойствами приведены в литературе [2]. В настоящее время реализовать передаточные функции таких звеньев можно и программным путем на контроллерах или управляющих компьютерах.

Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 490; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!