Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Интегрирование по частям. Примеры решений
Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете, экзамене студенту почти всегда предлагают решить интегралы следующих типов: простейший интеграл (см. статью Неопределенный интеграл. Примеры решений) либо интеграл на замену переменной (см. статью Метод замены переменной в неопределенном интеграле) либо интеграл как раз на метод интегрирования по частям.
Как всегда, под рукой должны быть: Таблица интегралов и Таблица производных.
Какую задачу решает метод интегрирования по частям? Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное. Как мы помним, нет удобной формулы: 
. Зато есть такая: 
– формула интегрирования по частям собственной персоной.
По частям берутся интегралы следующих видов:
1) 
, 
, 
– логарифм, логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен.
2) 
, 
– экспоненциальная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен. Сюда же можно отнести интегралы вроде 
– показательная функция, умноженная на многочлен, но на практике процентах так в 97, под интегралом красуется симпатичная буква «е». … что-то лирической получается статья, ах да… весна же пришла.
3) 
, 
, 
– тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен.
|
|
|
4) 
, 
– обратные тригонометрические функции («арки»), «арки», умноженные на какой-нибудь многочлен.
Также по частям берутся некоторые дроби, соответствующие примеры мы тоже подробно рассмотрим.
Интегралы от логарифмов
Пример 1
Найти неопределенный интеграл.
Решаем:
Прерываем решение на промежуточные объяснения.
Используем формулу интегрирования по частям:
Формула применяется слева направо
Смотрим на левую часть: 
. Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за 
, а что-то за 
.
В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм.
Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:
То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.
Следующий этап: находим дифференциал 
:
Дифференциал – это почти то же самое, что и производная.
Теперь находим функцию 
. Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрировать правую часть нижнего равенства 
:
Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: 
.
Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками:
|
|
|
Единственный момент, в произведении 
сразу переставим местами и , так как множитель 
принято записывать перед логарифмом.
Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам.
Обратите внимание, что в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс».
Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно.
В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: 
. И это не случайно.
Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл.
Подынтегральная функция представляет собой произведение логарифма на многочлен.
Решаем.
Подробно распишем порядок применения правила, в дальнейшем примеры будут оформляться более кратко.
Как уже говорилось, за необходимо обозначить логарифм (то, что он в степени – значения не имеет). За обозначаем оставшуюся часть подынтегрального выражения.
|
|
|
Записываем в столбик:
Сначала находим дифференциал :
Здесь использовано правило дифференцирования сложной функции 
. Теперь находим функцию , для этого интегрируем правую часть нижнего равенства 
:
Для интегрирования мы применили простейшую табличную формулу 
Теперь всё готово для применения формулы . Открываем «звёздочкой» и «конструируем» решение в соответствии с правой частью 
:
Под интегралом у нас снова многочлен на логарифм! Поэтому решение опять прерывается и правило интегрирования по частям применяется второй раз. Не забываем, что за в похожих ситуациях всегда обозначается логарифм.
Хорошо бы, если к данному моменту простейшие интегралы и производные Вы умели находить устно.
(1) Не путаемся в знаках! Очень часто здесь теряют минус, также обратите внимание, что минус относится ко всей скобке 
, и эти скобки нужно корректно раскрыть.
(2) Раскрываем скобки. Последний интеграл упрощаем.
(3) Берем последний интеграл.
(4) «Причесываем» ответ.
Необходимость дважды (а то и трижды) применять правило интегрирования по частям возникает не так уж и редко.
Пример 3
Найти неопределенный интеграл.
Решение:
Пример 4
Найти неопределенный интеграл.
|
|
|
Решение:
Интегрируем по частям:
Вроде бы в примерах 3,4 подынтегральные функции похожи, а вот методы решения – разные! В этом-то и состоит основная трудность освоения интегралов – если неправильно подобрать метод решения интеграла, то возиться с ним можно часами, как с самой настоящей головоломкой. Поэтому чем больше вы прорешаете различных интегралов – тем лучше, тем легче пройдут зачет и экзамен. По логарифмам, пожалуй, более чем достаточно
Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
Общее правило: за всегда обозначается многочлен
Пример 5
Найти неопределенный интеграл.
Решение:
Используя знакомый алгоритм, интегрируем по частям:
Если возникли трудности с интегралом 
, то следует вернуться к статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Единственное, что еще можно сделать, это «причесать» ответ:
Но если Ваша техника вычислений не очень хороша, то самый выгодный вариант оставить ответом 
или даже 
То есть, пример считается решенным, когда взят последний интеграл. Ошибкой не будет, другое дело, что преподаватель может попросить упростить ответ.
Пример 6
Найти неопределенный интеграл.
Данный интеграл дважды интегрируется по частям. Особое внимание следует обратить на знаки – здесь легко в них запутаться, также помним, что 
– сложная функция.
Решение:
Дважды интегрируем по частям:
Больше про экспоненту рассказывать особо нечего.
Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Общее правило: за всегда обозначается многочлен
Пример 7
Найти неопределенный интеграл.
Интегрируем по частям:
Пример 8
Найти неопределенный интеграл
Решение:
Интегрируем по частям:
Пример 9
Найти неопределенный интеграл
Еще один пример с дробью. Как и в двух предыдущих примерах за обозначается многочлен.
Интегрируем по частям:
Пример 10
Найти неопределенный интеграл
Решение:
Интегрируем по частям:
Примечание: Здесь мы использовали известную тригонометрическую формулу двойного угла 
. Её можно было использовать и сразу: 
, а потом интегрировать по частям.
Похожим способом также решаются интегралы вроде 
, 
– в них необходимо (сразу или в ходе решения) понизить степень синуса (косинуса) с помощью соответствующих формул.
Интегралы от обратных тригонометрических функций.
Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Общее правило: за всегда обозначается обратная тригонометрическая функция.
К обратным тригонометрическим функциям относятся арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Для краткости записи я буду называть их «арками»
Пример 11
Найти неопределенный интеграл.
Решаем.
Интегрируем по частям:
Интеграл 
найден методом подведения функции под знак дифференциала, можно использовать и метод замены в «классическом» виде. Аналогичный пример мы разбирали на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Таким образом, помимо «чистого» интегрирования по частям нередко требуется применять и другие методы, приёмы решения.
Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 377; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!