Десятичные и натуральные логарифмы.

Группа 1К-70/1СР-72

Тема: Логарифмы. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы.

Задание:

1. Ознакомиться с историей происхождения и применения логарифмов.

2. Изучить теоретические сведения и законспектировать их.

3. Записать примеры выполнения заданий.

4. Выполнить задания.

5. Выполненные задания сфотографировать и отправлять на электронную почту tryufelka83@mail.ru или в ЛС социальной сети VKontakte.

6. Выполненные задания сдать до: 26.10

Учебник: Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.

Ссылка на учебник онлайн:

https://uchebnik-skachatj-besplatno.com/Алгебра/Учебник%20Алгебра%2010-11%20класс%20Алимов%20Колягин/index.html#prettyPhoto

С. 90-92

Логарифмы. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы.

Сначала познакомимся с историческим материалом для того, чтобы понять, как и в связи с чем было введено понятие логарифма.

Потребность в сложных расчетах в XVI веке быстро росла в связи с развитием дальнего мореплавания, вызвавшим усовершенствование астрономических приборов и вычислений. Значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоемкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на более простое и надежное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьезных усилий для реализации своей идеи.

Для чего ученые решили создавать специальные таблицы? Зачем это было нужно? В чем заключается смысл данных таблиц? Ученые создавали специальные таблицы для упрощения умножения и деления многозначных чисел. Это было необходимо для изучения и исследования объектов или явлений в области географии и астрономии. Умножение заменяется на сложение, деление на вычитание. Составим одну из таких таблиц – таблица степеней 2.

Показатель степени	1	2	3	4	5
результат	2	4	8	16	32

Заметим, что для того, чтобы умножить 32 на 256 достаточно представить эти числа в виде степеней числа 2, затем выполнить умножение чисел с одинаковыми основаниями, т.е. сложить показатели и полученный результат – новая степень числа 2 – посмотреть в приведенной таблице. Выполните умножение 32*256 Вычисляют: 32*256=2⁵*2⁸=2¹³=8192

Так происходит замена умножения сложением. Аналогично можно выполнять и деление с помощью вычитания.

Вычислите: 1024/64=2¹⁰*2⁶=2⁴=16

Таблицу можно продлить влево, используя не только натуральные показатели, но и целые.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием “Описание удивительной таблицы логарифмов”. В нем было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Логарифмом числа x называют показатель степени y, в которую надо возвести некоторое фиксированное число a, чтобы получить исходное число x: a^y=x. Записывают: y = log_ax.

Что такое логарифм?

Определение. Логарифм числа x - это показатель степени y, в которую надо возвести некоторое фиксированное число a, чтобы получить исходное число x

Как обозначается логарифм? y = log _a x

Посмотрите на построенную выше таблицу степеней числа 2. В какой строке записан значение логарифма? Фиксированное число? Исходное число х? Отвечают: значение логарифма в верхней строке. Фиксированное число равно 2. Исходное число х расположено в нижней строке.

Определите по таблице, чему равен log₂64=6, log₂1024=10

Вычислите устно log₂ =-1, log₅625=4

Пример

Вычислите 1) 2) 3)

Решение

так как

Ответ. 1)

2) 4; 3)

Также за определение логарифма принимают следующую запись: a^log_a^b=b. Формула справедлива, так как по определению логарифма – показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить исходное число. Эту запись называют основное логарифмическое тождество: a^log_a^b = b , имеет смысл при a>0, a≠1

Свойства логарифмов:

Пусть a > 0, a ≠ 0. Тогда:

Эта формула называется формулой перехода к новому основанию.

Пример.

Вычислите 1) 2)

Решение

Ответ. 1) 5; 2) 2401.

Десятичные и натуральные логарифмы.

Эти тождества следуют из равенств и Логарифм по основанию 10 имеет специальное обозначение и называется десятичным логарифмом. Для десятичных логарифмов справедливы равенства:

lg 1 = 0

lg 0,1 = –1

lg 10 = 1

lg 0,01 = –2

lg 100 = 2

lg 0,001 = –3

lg 1000 = 3

lg 0,0001 = –4

Логарифм по основанию e имеет в математике большое значение. Число e приблизительно равно 2,7. Более точное выражение:

однако само число e является иррациональным. Для логарифма по этому основанию также существует специальное обозначение и название натуральный логарифм. Среди свойств числа e, в частности, можно отметить следующее: касательная к графику функции в точке (0; 1) образует с осью абсцисс угол 45°.