Вопросы и упражнения для самостоятельной работы (самоконтроля)
1. Для чего используется операторные схемы замещения?
2. Как построить операторную схему замещения по схеме коммутации в электрической цепи?
3. Как найти эквивалентное операторное сопротивление двух последовательно соединенных элементов?
4. Как найти эквивалентное операторное сопротивление двух параллельно соединенных ветвей?
5. Найдите эквивалентную ёмкость двух последовательно соединенных конденсаторов.
6. Найдите эквивалентную индуктивность двух параллельно соединенных идеальных катушек.
7. Составьте систему уравнений Кирхгофа для операторных токов по операторной схеме замещения на рис. 1.15.
8. Сформулируйте определение операторного сопротивления двухполюсника.
Операторный метод расчета переходных процессов
| И 1.27 | Расчет переходного процесса операторным методом начинается с построения операторной схемы замещения и определения её параметров. Затем нужно составить и решить систему уравнений для операторных токов. Наконец, определяются переходные токи по соответствующим операторным токам. |
Операторный метод избавляет от необходимости рассчитывать зависимые начальные условия и определять постоянные интегрирования. Благодаря этому расчеты переходных токов становятся не столь громоздкими, как при использовании классического метода. Классическим методом обычно рассчитывают переходные процессы в цепях с одним – двумя реактивными элементами, операторным – с несколькими реактивными элементами. Операторный метод проще программируется для компьютерных вычислений.
|
|
|
| И 1.28 | Последовательность расчёта переходных токов операторным методам 1. Составить операторную схему замещения для цепи, в которой происходит переходный процесс. 2. Найти операторные сопротивления ветвей и операторные напряжения (ЭДС) источников. 3. Рассчитать режим электрический цепи до коммутации, определить независимые начальные условия, найти соответствующие дополнительные операторные ЭДС. 4. Составить систему уравнений для операторных токов и решить её. 5. Найти переходные токи, соответствующие операторным токам. |
Примечание к И 1.28.
1. На первый взгляд, классический метод отличается от операторного тем, что в первом случае переходный ток ищется в виде суммы установившейся и свободной составляющих, а во втором случае - как единое целое. В действительности это не так, переходный ток разделяется на установившуюся и свободную составляющие на последнем этапе расчёта при переходе от операторного тока к переходному току. Более того, это разделение переходного тока на составляющие можно сделать с начала расчёта. Два первых пункта процедуры И 1.28 не изменяются, а последующие применяются в следующей редакции.
|
|
|
3°. Рассчитать режим электрической цепи до коммутации, определить независимые начальные условия.
4°. Рассчитать установившейся режим (после коммутации).
5°. Разложить начальные значения токов в индуктивностях и напряжений на ёмкостях на установившиеся и свободные составляющие:
,
Здесь 
и 
определены в п.3°, а 
и 
легко находится по результатам расчёта установившегося режима (п.4°).
6°. Исключить из операторной схемы замещения операторные ЭДС источников и заменить дополнительные операторные ЭДС 
и 
на 
и 
соответственно (здесь номер ветви). В результате получится операторная схема замещения для свободных токов.
7°. Составить систему уравнений для свободных операторных токов и решить её.
8°. Найти свободные токи, соответствующие свободным операторным токам.
9°. Записать переходные токи, суммируя их установившиеся и свободные составляющие.
Раздельный расчет установившихся и свободных составляющих переходных токов обычно выполняется применительно к цепям переменного синусоидального тока (установившейся режим рассчитывается символическим методом, а свободный процесс – операторным методом).
|
|
|
2. При расчете переходных процессов в цепях с несколькими реактивными элементами наиболее трудным этапом алгоритма И 1.28 становится последний этап. Простые случаи рассмотрены в следующих ниже примерах, а общий случай перехода от изображений к соответствующим оригиналам – в следующем параграфе.
Пример 1.4 Перераспределение заряда между двумя конденсаторами. К конденсатору ёмкостью С 1, предварительно заряженному до напряжения u 0, подключается незаряженный конденсатор С 2, активное сопротивление цепи равно R (рис. 1.16 а). Соответствующая операторная схема замещения показана на (рис. 1.16 б).
Рис. 1.16. Схема коммутации в цепи (а) и соответствующая операторная схема замещения
Дополнительная операторная ЭДС в первом конденсаторе равна - 
(перемена знака связана с направлением напряжения U 0 навстречу направлению переходного тока, U 0 >0); дополнительная операторная ЭДС во втором конденсаторе отсутствует, U с2 (0)=0.
Операторное сопротивление цепи
где 
– эквивалентная ёмкость двух последовательно соединенных конденсаторов (С<С 1 и С<С 2).
Операторный ток
Этому операторному току согласно правилу 6 преобразования Лапласа (1.28) соответствует переходный ток
|
|
|
.
Напряжения на конденсаторах проще всего определить интегрированием тока
и по второму закону Кирхгофа
После прекращения переходного процесса.
направления напряжений совпадают с направлением тока на рис. 1.16 а.
Пример 1.5. Схема коммутации в цепи с постоянной ЭДС E показана на рис. 1.17, а соответствующая операторная схема замещения на рис. 1.15.
Рис. 1.17. Схема коммутации в электрической цепи (E= const)
Рис. 1.18. Эквивалентные схемы для установившихся режимов до коммутации (а) и после коммутации (б)
Операторная ЭДС E ( p )= E / p. Чтобы найти дополнительную операторную ЭДС Li 2 (0), нужно рассчитать ток i 2д в катушке до коммутации. Эквивалентная схема установившегося режима до коммутации показана на рис. 1.18а; в ней нет индуктивности, так как в установившемся режиме в цепи постоянного тока идеальная катушка эквивалентна проводнику с нулевым сопротивлением. С помощью этой схемы нетрудно найти, что i 2д = E /( R 1 + R 2 ).
На основании первого закона коммутации i 2 (0)= i 2 Д, следовательно, дополнительная операторная ЭДС в схеме на рис 1.15 равна
Составим систему уравнений Кирхгофа для операторных токов (по рис. 1.15):
Чтобы упростить расчеты, зададим численные значения параметров цепи: R 1 = R 2 = R 3 =2 Ом, L= 
Гн, E=12 В. Уравнения с численным значениями параметров приобретают вид
Операторные токи
Остается найти соответствующие переходные токи. Начнём с тока i 1 ( t ).
Здесь А1 и B1 - неопределённые постоянные. Если найти их значения, то операторный ток будет разложен на простейшие дроби, а каждой простейшей дроби легко поставить в соответствие функцию времени, например, 
В числителе первой и третьей дробей стоят равные многочлены переменной p. Для их равенства необходимо, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях p, т.е.
.
Из этой системы уравнений необходимо А 1 =4, B 1 =0,5.
Таким образом,
Разложение операторного тока I 2 ( p ) на простейшие дроби приводит к равенству многочленов
соответственно А2+ B2=3, 9А2=18 и, значит, А2=2, B2=1. Следовательно,
Аналогичным образом (или по первому закону Кирхгофа) можно найти ток
.
Графики переходных токов показаны на рис. 1.19. Переход от начального значения каждого тока к его установившемуся значению происходит по экспоненциальному закону. Слева от начала координат ( t <0) показаны установившиеся токи в режиме до коммутации. В момент коммутации токи i 1 и i 3 изменяются скачком.
Рис. 1.19. Переходные токи в цепи, показанной на рис. 1.17
Примечание к примеру 1.5.
1. Расчёт переходного процесса операторным методом в сильной степени формализован. Это, с одной стороны, позволяет сэкономить на вычислениях, но, с другой стороны, уводит внимание в сторону от важных результатов расчёта. Множитель ( p+9) в знаменателе операторных токов появился при решении системы уравнений Кирхгофа в операторной форме. Ему соответствует корень характеристического уравнения и показатель экспоненты p = - 9 (1/ c). Проверим этот результат. Найдем операторное сопротивление цепи относительно источника E( p) по рис. 1.15 (дополнительная операторная ЭДС не учитывается):
Характеристическое уравнение Z( p)=0 приводится к виду R1 R2+ R1 R3+ R2 R3+( R1+ + R3) pL=0, или с численными значениями параметров 12+4/3 p=0, следовательно, 
.
2. Правильность расчёта установившихся составляющих переходных токов можно проверить, вычислив токи в эквивалентной схеме для установившегося режима после коммутации (рис. 1.18 б). С учетом численных значений ЭДС и сопротивлений получаем i1 y=4A, i2 y= i3 y=2A. Именно таковы свободные слагаемые в выражениях для переходных токов.
3. Начальные значения всех переходных токов можно найти с помощью эквивалентной схемы замещения для момента коммутации (рис. 1.20).
Рис. 1.20 Эквивалентная схема цепи с рис. 1.17 в момент коммутации
Здесь на месте индуктивности находится источник тока 
(это значение тока в катушке до коммутации). Значения токов i1(0) и i3(0) определяется с помощью уравнений Кирхгофа
Подставив в эти уравнения численные значения параметров, включая 
находим 
Эти значения соответствуют выражениям переходных токов и графикам на рис. 1.19.
Определив начальные и установившиеся значения переходных токов, а также показатель экспоненты, можно построить графики этих токов. Переход от начального значения к установившемуся току происходит по экспоненте. То, что написано в примечаниях 1,2 и 3 по существу, представляет собой расчёт переходного процесса классическим методом в несколько сокращенном виде. Здесь этот расчёт использован для проверки результатов, полученных операторных методов.
4. Полученные выше выражения для операторных токов представляют собой дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами переменной p (рациональные дроби); причём знаменатели всех трех токов одинаковы. Это правило сохраняется в общем случае при расчёте переходных процессов в цепях с источниками постоянного или синусоидального напряжения, но степени многочленов могут быть больше, чем в рассмотренном примере.
, (*)
здесь M( p) – многочлен степени m, N( p) – многочлен степени n. Обычно число реактивных элементов в цепи как раз равно n. Полезно помнить, что m< n в формуле (*), m< n+1 в (**) и m< n+2 в (***). Это условие используется для контроля правильности расчетов; если оно нарушается, то операторным током соответствуют такие переходные токи, которые физически не могут существовать.
В рассмотренном примере знаменатели всех трёх операторных токов одинаковы. Было отмечено, что корень многочлена, стоящего в знаменателе является корнем характеристического уравнения., если в цепи нет источников электрической энергии (в ней протекает только свободные токи);
(**)
если в цепи действуют источники постоянного напряжения;
(***)
если установившейся режим обеспечивается источниками синусоидального напряжения с круговой частотой ω.
Это правило также сохраняется в общем случае: равенство N( p)=0 эквивалентно характеристическому уравнению. Корни этого уравнения используются при разложении операторного тока на простейшие дроби.
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 79; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!