Основные виды фазовых траекторий линейных систем второго порядка.
Уравнение системы второго порядка:
Корни этого уравнения:
Для разных значений a возможны шесть разных случаев, следовательно шесть фазовых траекторий.
1) корни чисто мнимые при a1=0, а2>0 (колебательная граница устойчивости линейной системы);
получается незатухающие колебания (рис. 16.2, а)
(16.4)
Для фазовой плоскости уравнения представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями А и ω A (рис. 16.2, б).
Уравнение эллипса:
можно получить непосредственным решением дифференциального уравнения фазовых траекторий (16.3) при а1=0 и а2=ω2, причем A — произвольная постоянная интегрирования.
периодическим колебаниям системы (рис. 16.2, а) соответствует движение изображающей точки по замкнутой кривой(рис. 16.2, б). Фазовые траектории по замкнутой кривой
2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при (устойчивая линейная система);
это затухающие колебания (рис. 16.3, а)
Рис. 16.3
где
а произвольные постоянные A и β определяются из начальных условий:
.
Значения х и у не возвращаются за период колебания к прежним, а становятся меньше. Это дает на фазовой плоскости (х, у) кривую (рис. 16.3, б), которая за один оборот не возвращается в прежнюю точку М0, а подходит ближе к началу координат, то есть фазовые траектории в виде спиралей(рис. 16.3, б).
3) корни комплексные и имеют положительные вещественные части при (неустойчивая линейная система);
|
|
Рассуждая аналогично предыдущему, получим всю совокупность возможных фазовых траектории тоже в виде спиралей, но только изображающая точка будет двигаться по ним не к началу координат, а от него (рис. 16.4, б).
Рис. 16.4
4) корни вещественные отрицательные при (устойчивая линейная система);
апериодический процесс: (16.5)
где
Рис. 16.6
Здесь все фазовые траектории вливаются непосредственно в начало координат О фазовой плоскости. Однако изображающая точка М не попадает в начало координат в конечное время, а приближается асимптотически. Фазовые траектории, вливающиеся в начало координат. (Рис. 16.6)
5) корни вещественные положительные при (неустойчивая линейная система);
Этот случай (вещественные положительные корни) соответствует также апериодическому процессу, определяемому теми же уравнениями (16.5), но при α1<0 и α2<0. Аналогично предыдущему получаем кривые процесса и фазовые траектории, изображенные на рис. 16.6.
Рис. 16.6
6) корни вещественные и имеют разные знаки при а2<0 (неустойчивая линейная система); в частности, один из корней будет равен нулю при а2=0 (апериодическая граница устойчивости линейной системы).
Это апериодический процесс, но α1 и α2 имеют разные знаки, следовательно картина фазовых траекторий здесь иная. Так как а2<0, то α2= –а2, рассмотрим случай а1=0, что соответствует согласно (16.1) уравнению системы
|
|
и согласно (16.3) — уравнению фазовых траекторий
(16.6)
Интегрирование дает
,
т.е. семейство гипербол, изображенное на рис. 16.7, б.
рис. 16.7, б.
Аналогичная картина фазовых траекторий получится в данном случае и при а1≠0.
Итак, расходящимся апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории типа рис. 16.6, б или типа рис. 16.7, б, причем изображающая точка, двигаясь по ним, в конечном итоге удаляется от начала координат.
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 180; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!