Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны.
Производная функции
Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает.Если ось Ox направить вдоль дороги горизонтально, а Oy – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:
Ось Ox – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря. Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз.
Также мы можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат).
А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина?
Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние.
Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).
Продвижение вперед обозначим Δx (читается «дельта икс»).
Греческую букву Δ(дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение».
То есть
Δx – это изменение величины x, Δy – изменение y; тогда что такое Δf ? Правильно, изменение величины f.
Важно: выражение Δx – это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы!
|
|
|
То есть, например, ΔxΔy≠xy
Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на Δx. Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции f(x), то как мы обозначим подъем? Конечно, Δf. То есть, при продвижении вперед на Δx мы поднимаемся выше на Δf.
Величину Δf посчитать легко: если в начале мы находились на высоте f1, а после перемещения оказались на высоте f2, то Δf=f2−f1. Если конечная точка окажется ниже начальной, Δf будет отрицательной – это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.
Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:
k = 
Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на 1 км дорога поднимается вверх на 1 км. Тогда крутизна в этом месте равна 1.
А если дорога при продвижении на 100 м опустилась на 0,5км?
Тогда крутизна равна k = 
= − 5.
А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма.
Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая. 
То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности.
|
|
|
Просто на расстоянии в 1 км может очень многое поменяться.
Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны.
Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить.
Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр?
Чем меньше, тем лучше!
В реальной жизни измерять расстояние с точностью до миллиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству.
Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать.
Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше?
А ты подели это число на 2 – и будет еще меньше. И так далее.
Если хотим написать, что величина x бесконечно мала, пишем так: x→0
(читаем «икс стремится к нулю»).Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.
Понятие, противоположное бесконечно малому – бесконечно большое (x→∞).
Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится ещё больше. А бесконечность ещё больше того, что получится.
|
|
|
Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при x→0: 
→∞, и наоборот: при x→∞: →0
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 69; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!