Задания для самостоятельной работы

1. Исследовать на экстремум функции

а) ; б)

3. Убедиться, что функция имеет минимум в точке .

4. Убедиться, что при и при функция имеет минимум.

5. Убедиться, что при функция имеет минимум.

6. Найти стационарные точки функции , удовлетворяющие условию , и исследовать их характер.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Пусть функция непрерывна в некоторой замкнутой области. Тогда в силу второй теоремы Вейерштрасса функция достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения. Это может происходить во внутренней точке , тогда для дифференцируемой функции – стационарная точка, которую находим с помощью необходимых условий экстремума. Если же своего наибольшего (наименьшего) значения функция достигает на границе области, то выражают, например, переменную из уравнения границы, подставляют в и исследуют на экстремум полученную функцию одной переменной. Остаётся подсчитать значение функции во всех полученных точках и выбрать среди них наибольшее и наименьшее. Заметим, что при этом не надо проводить дополнительные исследования с помощью достаточного условия экстремума.

Пример 1. В области найти наибольшее и наименьшее значение функции .

Решение . Функция непрерывна и дифференцируема на всей плоскости.

1. Приравняем нулю частные производные:

Получили единственную стационарную точку , лежащую внутри заданной области. Значит, если функция внутри области имеет экстремум, то это возможно только в точке . Подсчитаем .

2. Исследуем поведение функции на границе области.

а) На стороне : .

Функция непрерывна на , следовательно, достигает на этом промежутке наибольшего и наименьшего значения. Находим стационарную точку из условия . Значит, если функция внутри промежутка имеет экстремум, то это возможно только при . Этому значению на стороне соответствует точка . Подсчитаем . Осталось найти значения функции на концах промежутка : . Это соответствует значениям функции в углах и :

б) На стороне : .

Находим на стационарную точку из условия . Этому значению на стороне соответствует точка . Подсчитаем . Осталось найти значения функции на конце :: . Это соответствует значению функции в углу : .