Портфель Марковица минимального риска с ожидаемой доходностью не меньшей заданного значения
Требуется найти портфель 
, который минимизировал бы риск 
и обеспечивал ожидаемую доходность не меньше заданной величины 
.
Следовательно, постановка задачи такова: найти минимум целевой функции
при условиях:
,
.
Решим эту задачу, используя график минимальной границы (рис. 4.1). При этом возможны два случая.
Случай 1. Заданное значение 
.
В этом случае портфель минимального риска равен:
,
а его риск равен:
.
Случай 2. Заданное значение 
.
В этом случае портфель минимального риска равен:
,
а его риск равен:
.
Минимальное значение риска 
достигается при 
.
Пример 12. На рынке присутствуют два активас ожидаемыми доходностями: 
, 
и ковариационной матрицей 
. Найти портфель минимального риска из портфелей доходности не менее а) 18%; б) 12% и его риск.
Решение. Рынок в данной задаче такой же,как и в задаче 5.
Рассмотрим случай а). В этом случае 
. Следовательно, портфель минимального риска равен: .
При решении задачи 5 были найдены: 
, 
; 
.
Найдем 
и 
.
.
.
Тогда:
,
.
Портфель минимального риска с доходностью 
равен:
Его риск равен:
Рассмотрим случай б). В этом случае 
. Следовательно, как показано в задаче 5, портфель минимального риска равен:
.
Его риск равен:
.
Его доходность равна:
.
Ответ. а) 
; 
; 
.б) 
; 
; 
.
4.5. Портфель Марковица максимальной доходности из всех портфелей риска не более заданного значения 
Требуется найти портфель , который максимизировал бы ожидаемую доходность и обеспечивал риск не больше заданной величины .
|
|
|
Следовательно, постановка задачи такова: найти максимум целевой функции: 
при условиях:
,
.
Решим эту задачу, используя график минимальной границы в виде :
.
Рис. 4.2. График минимальной границы 
.
Из рис. 4.2 видно, что если рассматривать портфели, для которых 
, то точка, лежащая справа на пересечении кривой и прямой 
даст решение задачи.
Таким образом, искомое значение 
максимальной ожидаемой доходности является наибольшим корнем уравнения:
или 
.
Наибольший корень этого уравнения равен:
.
Искомый портфель максимальной доходности из всех портфелей риска не более заданного значения , равен:
.
Пример 13. На рынке присутствуют два активас ожидаемыми доходностями: , и ковариационной матрицей . Найти портфель максимальной доходности среди портфелей риска не более 50% и его ожидаемую доходность.
Решение. Рынок в данной задаче такой же,как и в задачах 5 и 9. Параметры 
, 
и 
равны: 
; 
; 
; 
.
Искомое значение максимальной ожидаемой доходности равно:
Искомый портфель максимальной доходности из всех портфелей риска не более заданного значения 
равен:
|
|
|
Ответ. 
; 
.
Пример 14. На рынке присутствуют три активас ожидаемыми доходностями: 
, 
, 
и ковариационной матрицей 
.
Найти портфель минимального риска с ожидаемой доходностью 
и его риск. Составить уравнение минимальной границы.
Решение. Найдем обратную матрицу.
Таким образом 
.
Вектор ожидаемых доходностей активов 
.
Константы равны:
;
;
;
;
.
Так как 
, то портфель минимального риска равен:
.
; 
.
.
Портфель минимального риска с ожидаемой доходностью равен:
.
Таким образом, искомый портфель 
.
Квадрат его риска равен: 
Риск полученного портфеля равен:
.
Составим уравнение минимальной границы:
.
Ответ. , 
, 
.
Портфель Тобина
Предположим, что вместе с 
рисковыми активами портфель инвестора включает одну безрисковую бумагу с доходностью 
и долей в портфеле 
. Такой портфель называется портфелем Тобина.
Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 364; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!