Решение: Так как момент внешних сил относительно вертикальной оси вращения равен нулю, то для этой системы выполняется закон сохранения момента импульса:

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Факультет заочного обучения

Кафедра физики

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ № 1, 2

по дисциплине

«ФИЗИКА»

Разделы

«Физические основы механики»,

«Молекулярная физика. Термодинамика»

Курс 1

 

Для направлений: 280400 – Прикладная гидрометеорология.

011200 - физика.

022000 – Экология и природопользование.

180800 – Корабельное вооружение.

230700 – Прикладная информатика.

090302 – Информационная безопасность телекоммуникационных систем.

 

 

Санкт-Петербург, 2014

УДК 53(075.8)

 

Утверждено Редакционно-издательским советом РГГМУ

 

Методические указания и контрольные работы № 1, 2 по дисциплине «Физика». Разделы «Физические основы механики», «Молекулярная физика. Термодинамика» − СПб.: Изд. РГГМУ, 2014. − 83 с.

Составители:Т.Ю. Яковлева, А.В. Бармасов, А.М. Бармасова, В.В. Косцов, Е.Ю. Михтеева, А.Л. Скобликова.

Ответственный редактор: А.В. Логинов.

 

Настоящее учебно-методическое пособие содержит методические указания и контрольные работы по разделам: «Физические основы механики» и «Молекулярная физика. Термодинамика».

Цель настоящего учебно-методического пособия − оказать помощь студентам-заочникам в изучении курса физики.

Основной учебный материал программы 1 курса в пособии распределён на два раздела. В каждом из них даны основные формулы, примеры решения задач и контрольные работы. Кроме того, в пособии даны общие методические указания и некоторые справочные таблицы.

Учебно-методическое пособие может быть использовано как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной работы студентов факультетов: метеорологического, гидрологического, океанологического, экологии и физики природной среды, информационных систем и геотехнологий.

 

 

© Авторы, 2014,

© Российский государственный гидрометеорологический университет (РГГМУ), 2014.

 

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Учебная работа студента-заочника по изучению физики складывается из следующих основных элементов: самостоятельного изучения физики по учебным пособиям, решения задач, выполнения контрольных и лабораторных работ, сдачи зачётов и экзаменов.

 

1. Указания к самостоятельной работе по учебным пособиям

1. Изучайте курс систематически в течение всего учебного процесса. Изучение физики в сжатые сроки перед экзаменом не даст глубоких и прочных знаний.

2. Выбрав какое-либо учебное пособие в качестве основного для определённой части курса, придерживайтесь данного пособия при изучении всей части или, по крайней мере, её раздела. Замена одного пособия другим в процессе изучения может привести к утрате логической связи между отдельными вопросами. Но если основное пособие не даёт полного и ясного ответа на некоторые вопросы программы, необходимо обращаться к другим учебным пособиям.

3. При чтении учебного пособия составляйте конспекты, в которых записывайте законы и формулы, выражающие эти законы, определения физических величин и их единиц, делайте чертежи и решайте типовые задачи. При решении задач следует пользоваться Международной системой единиц (СИ).

4. Самостоятельную работу по изучению физики подвергайте систематическому контролю. Для этого после изучения очередного раздела следует ставить вопросы и отвечать на них. При этом надо использовать рабочую программу курса физики.

5. Прослушайте курс лекций по физике, организуемый для студентов-заочников. Пользуйтесь очными консультациями преподавателей, а также задавайте вопросы в письменном виде.

 

2. Указания к решению задач

1. Укажите основные законы и формулы, на которых базируется решение, и дайте словесную формулировку этих законов, разъясните буквенные обозначения формул. Если при решении задач применяется формула, полученная для частного случая, не выражающая какой-нибудь физический закон, или не являющаяся определением какой-нибудь физической величины, то её следует вывести.

2. Сделайте чертёж, поясняющий содержание задачи (в тех случаях, когда это возможно); выполнять его надо аккуратно с помощью чертёжных принадлежностей.

3. Сопровождайте решение задачи краткими, но исчерпывающими пояснениями.

4. Получите решение задачи в общем виде, т. е. выразите искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. При этом способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.

5. Подставьте в правую часть полученной рабочей формулы вместо символов величин обозначения единиц, произведите с ними необходимые действия и убедитесь в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине (см. примеры 1 и 8 в разделе 1, примеры 2, 3, 4, 6 и 7 в разделе 2).

6. Подставьте в рабочую формулу численные значения величин, выраженные в единицах одной системы. Несоблюдение этого правила приведёт к неверному результату. Исключения из этого правила допускаются лишь для тех однородных величин, которые входят в виде сомножителей в числитель и знаменатель формулы с одинаковыми показателями степени. Такие величины не обязательно выражать в единицах той системы, в которой ведётся решение задачи. Их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах.

7. Произведите вычисление величин, подставленных в формулу, руководствуясь правилами приближённых вычислений, запишите в ответе численное значение и сокращённое наименование единицы искомой величины.

8. При подстановке в рабочую формулу, а также при записи ответа численные значения величин запишите как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти. Например, вместо 7460 следует записать 7,46·10³, вместо 0,00000298 следует записать 2,98·10^–6 и т.д.

9. Оцените (где это целесообразно) правдоподобность численного ответа. В ряде случаев такая оценка поможет обнаружить ошибочность полученного результата. Например, коэффициент полезного действия тепловой машины не может быть больше единицы (100%), электрический заряд не может быть меньше элементарного заряда |е| ≈ 1,6·10^–19 Кл, скорость тела не может быть больше скорости света в вакууме c₀ ≈ 3·10⁸ м/с и т.д.

 

3. Указания к выполнению контрольных работ

К выполнению контрольных работ по каждому разделу физики студент-заочник приступает только после изучения материала, соответствующего данному разделу программы, внимательного ознакомления с примерами, помещёнными в данном пособии.

При выполнении контрольных работ студенту необходимо руководствоваться следующим:

1. Контрольные работы выполняются чернилами в обычной школьной тетради, на обложке которой приводятся сведения по следующему образцу:

Контрольная работа № 1 по физике

(вариант 4, номер зачётной книжки 99999)

студента 1 курса гидрологического факультета РГГМУ

Петрова Алексея Сергеевича.

Адрес: индекс 190000, г. Санкт-Петербург, Невский пр., д. 999, кв. 1000.

2. Условия задач к контрольной работе переписываются полностью без сокращений. Для замечаний преподавателя на страницах тетради оставляются поля.

3. В конце контрольной работы указывается, каким учебником или учебным пособием студент пользовался при изучении физики (название учебника, автор, год издания). Это делается для того, чтобы рецензент в случае необходимости мог указать, что следует студенту изучить для завершения контрольной работы.

4. Высылать на рецензию следует одновременно не более одной работы. Во избежание одних и тех же ошибок очередную работу следует высылать только после получения рецензии на предыдущую.

5. Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить её на повторную рецензию, включив в неё те задачи, решения которых оказались неверными. Повторная работа представляется вместе с незачтённой.

6. В контрольной работе студент должен решить 8-9 задач того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой его зачётной книжки. Номера задач, которые студент должен включить в контрольную работу, определяются по таблицам вариантов.

7. Зачтённые контрольные работы предъявляются экзаменатору. Студент должен быть готов во время экзамена дать пояснения по существу решения задач, входящих в контрольные работы.

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ
КУРСА ФИЗИКИ

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Основные законы и формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твёрдого тела) вдоль оси 0Х:

,

(1.1)

где – некоторая функция времени.

Скоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение:

.

(1.2)

Вектор мгновенной скорости в данной точке траектории:

.

(1.3)

Зависимость координаты x от времени t (закон движения) выражается при равномерном прямолинейном движении линейным уравнением:

,

(1.4)

где v = const – скорость движения материальной точки; x₀ – координата точки, в которой находилась материальная точка в момент времени t = 0.

Ускорение – векторная величина a, характеризующая изменение скорости точки за промежуток времени:

.

(1.5)

Мгновенным ускорением a тела называют предел отношения малого изменения скорости Δv к малому промежутку времени Δt, в течение которого происходило изменение скорости:

.

(1.6)

При равноускоренном прямолинейном движении скорость материальной точки определяется формулой:

,

(1.7)

где v₀ – скорость материальной точки при t = 0 (начальная скорость); a = const – ускорение.

Формула для проекции перемещения материальной точки на ось 0X S_x при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от 0 до t запишется в виде:

.

(1.8)

Для нахождения координаты x материальной точки в любой момент времени t нужно к начальной координате x₀ прибавить перемещение за время t (уравнение (закон) равноускоренного (равнопеременного) движения):

.

(1.9)

Выражение для определения скорости v материальной точки, если известны начальная скорость v₀, ускорение a и перемещение:

.

(1.10)

Средняя скорость – отношение перемещения материальной точки за некоторый промежуток времени к этому промежутку:

.

(1.11)

Тангенциальное (касательное) ускорение a_τ характеризует быстроту изменения скорости по значению и направлено по касательной к траектории в заданной точке. Модуль тангенциальной составляющей равен:

.

(1.12)

Нормальное (центростремительное) ускорение a_n направлено к центру окружности, вписанной в траекторию, перпендикулярно касательной (т. е. по нормали) к центру кривизны, и характеризует быстроту изменения скорости по направлению.

Модуль полного ускорения при криволинейном движении:

.

(1.13)

Угловая скорость ω – векторная величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота радиус-вектора, равная отношению угла ∆φ поворота материальной точки к промежутку времени ∆t, за который совершён поворот:

.

(1.14)

Угловая скорость ω направлена вдоль неподвижной оси, вокруг которой вращается материальная точка, в сторону, определяемую правилом правого винта.

Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением β:

.

(1.15)

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

,	(1.16)
,	(1.17)
,	(1.18)

где v – линейная скорость; а_τ и а_n – тангенциальное и нормальное ускорения; ω – угловая скорость; β – угловое ускорение; R – радиус окружности.

Гармонические колебания – колебания, при которых изменение физических величин, описывающих состояние системы, происходит по закону синуса или косинуса. Гармонические (или синусоидальные) колебания удовлетворяют соотношению:

(1.19)

или

,

(1.20)

где х – отклонение (смещение); x_m = A – амплитуда; ω – круговая или циклическая частота (рад·с^–1); φ₀ – начальная фаза колебания.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

,	(1.21)
.	(1.22)

Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой, при ω₁ = ω₂:

.	(1.23)
.	(1.24)

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, при ω₁ = ω₂:

,	(1.25)
,	(1.26)
.	(1.27)

Пусть φ₀₂ – φ₀₁ = kπ, где k = 0, 1, 2, и т.д., тогда coskπ = ±1, sin²kπ = 0 и:

(1.28)

Пусть φ₀₂ – φ₀₁ = (2k + 1)π/2, где k = 0, 1, 2, и т.д., тогда , , и:

(1.29)

Предположим, что амплитуда колебаний A по мере распространения волны не изменяется, а среда однородная (т. е. фазовая скорость тоже не изменяется). Это означает, что мы будем рассматривать плоскую волну. Уравнение гармонической волны можно записать в общем виде:

(1.30)

где знак «минус» берётся для волны, распространяющейся в направлении возрастания x, а «плюс» – в обратном направлении.

Связь разности фаз Δφ колебаний с расстоянием Δх между точками среды, отсчитанными в направлении распространения колебаний:

,

(1.31)

где λ – длина волны.

Второй закон Ньютона (основной закон динамики материальной точки) – возникшее под действием силы F ускорение a пропорционально вызвавшей его силе F:

,

(1.32)

где F – сила; а – ускорение материальной точки; m – инертная масса материальной точки. Это уравнение движения.

Импульс (количество движения) – в нерелятивистской механике Ньютона – мера механического движения, представляющая собой векторную величину, равную для материальной точки произведению массы этой точки на её скорость и направленную так же, как вектор скорости:

.

(1.33)

Второй закон Ньютона: скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе F:

.

(1.34)

Закон сохранения импульса для изолированной системы:

.

(1.35)

Закон всемирного тяготения (закон тяготения Ньютона):

Сила, с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна массам этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

,

(1.36)

где G – коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной или постоянной тяготения Ньютона.

Максимальная высота подъёма тела, брошенного вертикально вверх с некоторой начальной скоростью v₀:

.

(1.37)

Если некий объект обращается по круговой орбите на высоте h, которая пренебрежимо мала по сравнению с радиусом Земли R_З, то его скорость называют первой космической скоростью. Это наименьшая скорость, которую надо сообщить телу для превращения его в спутник Земли. Первая космическая скорость при отсутствии атмосферы:

.

(1.38)

Скорость движения по параболе относительно Земли принято называть второй космической скоростью. Это наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения стала параболической:

.

(1.39)

Гравитационный потенциал U:

(1.40)

где E_п – потенциальная энергия, которой обладает материальная точка массы m в данной точке поля; gradU – градиент[1] гравитационного потенциала.

Линейная деформация (относительное удлинение) ε равна:

.

(1.41)

Если внешняя сила действует равномерно на любое сечение S твёрдого тела, то силу, приходящуюся на единичное сечение, называют механическим напряжением (или просто напряжением) σ при деформации:

.

(1.42)

В области упругих деформаций напряжение деформации и относительная линейная деформация связаны законом Гука:

,

(1.43)

где α – коэффициент деформации данного твёрдого тела.

Модуль Юнга или модуль продольной упругости E – отношение нормального (направленного по нормали к поверхности) напряжения σ к относительному удлинению ε, вызванному этим напряжением в направлении его действия:

.

(1.44)

Сила упругости, возникающая при деформации пружины, прямо пропорциональна удлинению пружины:

,

(1.45)

где x – удлинение пружины; k – постоянный коэффициент, называемый жёсткостью пружины.

Модуль объёмного сжатия (модуль объёмной упругости, объёмный модуль упругости, модуль всестороннего сжатия)K характеризует способность материала сопротивляться изменению его объёма, не сопровождающемуся изменением формы. Он равен отношению величины нормального напряжения к величине относительного объёмного сжатия θ, вызванного этим напряжением:

.

(1.46)

Модуль сдвига G характеризует способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма. По величине он равен отношению касательного напряжения τ к величине угла сдвига γ, определяющего искажение прямого угла между плоскостями, по которым действуют касательные напряжения:

, ,

(1.47)

где S – площадь грани; G – модуль сдвига.

Отношение между относительной величиной деформации поперечного размера и относительной величиной линейной деформации твёрдого тела называют коэффициентом поперечных деформаций (коэффициентом поперечного сжатия, коэффициентом Пуассона) ν:

,	(1.48)
,	(1.49)
.	(1.50)

Сила сухого трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления – закон Кулóна–Амонтóна (закон Амонтóна):

,

(1.51)

где μ – коэффициент пропорциональности, зависящий от материалов трущихся поверхностей и не зависящий от силы нормального давления, называемый коэффициентом трения скольжения; N – модуль силы реакции опоры.

Основной закон вязкого трения (формула Ньютона):

,

(1.52)

где F – касательная (тангенциальная) сила, вызывающая сдвиг слоёв жидкости друг относительно друга; S – площадь слоя, по которому происходит сдвиг; – изменение скорости течения от слоя к слою (градиент скорости течения), иначе – скорость сдвига; η – коэффициент пропорциональности, который называется коэффициентом динамической вязкости (или просто динамической вязкостью) и характеризует сопротивление жидкости смещению его слоёв.

Отношение коэффициента динамической вязкости к плотности среды называют кинематическим коэффициентом вязкости или кинематической вязкостью:

,

(1.53)

где η – коэффициент динамической вязкости; ρ – плотность.

Число Рéйнольдса Re характеризует соотношение между свойствами инерции и вязкости жидкостей или газов:

,

(1.54)

где ρ – плотность жидкости (или газа); v – характерная (средняя по сечению) скорость потока; l – характерный линейный размер (размер сечения); η – коэффициент динамической вязкости жидкости или газа.

Частный случай движения в жидкости тел сферической формы (шаров) описывает закон Стокса:

,

(1.55)

где F_Ст – сила Стокса; r – радиус шара; v – скорость его движения.

Зависимость давления идеальной жидкости от скорости её течения (уравнение Бернулли):

.

(1.56)

Теорема Торричелли:

.

(1.57)

Уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной системе отсчёта:

.

(1.58)

Центробежная сила инерции F_цб:

,

(1.59)

где ω – величина угловой скорости; R – расстояние от центра вращения.

Центробежная сила – сила реакции, с которой движущаяся материальная точка действует на тело (связь), стесняющее свободу движения точки и вынуждающее её двигаться криволинейно:

,

(1.60)

где m – масса точки; v – её скорость; R – радиус кривизны траектории.

Сила Кориолиса F_К численно равняется произведению массы тела m на её кориолисово ускорение w_К:

.

(1.61)

Кориолисово ускорение (поворотное ускорение, ускорение Кориолиса) w_К – составляющая абсолютного ускорения точки, обусловленная её перемещением из области с одной переносной скоростью (скоростью подвижной системы отсчёта) в область с другой переносной скоростью:

.

(1.62)

Работа силы –мера действия силы F, зависящая от её модуля и направления, и от перемещения S точки приложения силы, равная проекции силы на направление перемещения точки её приложения, умноженной на величину этого перемещения:

.

(1.63)

Эл ементарная работа dA силы F на бесконечно малом перемещении dS – скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения:

.

(1.64)

Мощность – физическая величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение которого она произведена (работа, совершаемая силой в единицу времени). Если работа производится равномерно, то мощность N:

,

(1.65)

где A – работа, совершённая силой за время t.

Средней мощностью N_ср за время Δt называют отношение:

,

(1.66)

где ΔA – работа, совершённая силой за время Δt.

Мгновенная мощность равняется произведению мгновенной скорости на проекцию силы в направлении перемещения:

.

(1.67)

Кинетическая энергия материальной точки:

,

(1.68)

где m – масса; v – скорость материальной точки.

Работа силы на некотором пути численно равняется разности кинетических энергий материальной точки в конечном и начальном её положениях (теорема о кинетической энергии):

.

(1.69)

Потенциальная энергия в частном случае гравитационного поля Земли:

,

(1.70)

где m – масса; g – ускорение свободного падения; h – высота.

Потенциальная энергия сжатой пружины:

,

(1.71)

где x – абсолютное удлинение; k – жёсткость пружины.

Закон сохранения энергии в механике:

Полная механическая энергия изолированной системы материальных точек, равная сумме кинетических энергий точек и потенциальной энергии их взаимодействия, есть величина постоянная.

Угловая скорость ω – векторная величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота радиус-вектора:

.

(1.72)

Угловая скорость ω направлена вдоль неподвижной оси, вокруг которой вращается материальная точка, в сторону, определяемую правилом правого винта, и представляет собой псевдовектор.

Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением β:

.

(1.73)

В случае неподвижной оси вектор углового ускорения направлен так же, как и вектор угловой скорости ω, если скорость вращения возрастает, и направлен в противоположную сторону, если скорость вращения убывает.

Угол поворота вращающегося тела:

.

(1.74)

Момент импульса относительно оси вращения – векторное произведение L:

,

(1.75)

Момент силы (вращающий момент) M относительно неподвижной оси определяется векторным произведением M = [rF], где F – вектор силы, лежащий в плоскости вращения, r – радиус-вектор в той же плоскости, направленный от оси вращения к точке приложения силы F. Вектор M параллелен оси вращения, направление его совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. По модулю момент силы M = rFsin(r,F).

.

(1.76)

Второй (основной) закон динамики для вращательного движения, сходный со вторым законом Ньютона – уравнение моментов для вращения вокруг неподвижной оси:

,

(1.77)

где M – момент силы; β – угловое ускорение.

Скалярную величину I, характеризующую инертность тела при непоступательном движении и зависящую от распределения масс в теле, называют моментом инерции тела относительно оси вращения:

,

(1.78)

где r_i – расстояние точки i от оси вращения.

Сумму моментов инерции точек называют моментом инерции тела относительно выбранной оси вращения.

Значения моментов инерции для некоторых однородных тел массой m: в случае тонкого стержня длины l относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину, – ; тонкостенного цилиндра (обруча) относительно оси, совпадающей с осью трубы, – ; сплошного цилиндра (диска) относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр, – ; шара относительно оси, совпадающей с диаметром, – , во всех формулах R – радиус обруча, цилиндра, шара или сферы.

Момент импульса L твёрдого тела является векторной величиной (псевдовектор). Он складывается из моментов импульса всех образующих это тело материальных точек:

,	(1.79)
,	(1.80)
.	(1.81)

Закон сохранения момента импульса: полный момент импульса в замкнутой системе тел (F = 0, M = 0) есть величина постоянная:

,

(1.82)

т. е. момент импульса вращающегося тела остаётся постоянным, если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

,

(1.83)

где I – момент инерции тела относительно неподвижной оси.

Полная кинетическая энергия тела:

.

(1.84)

Теорема Гюйгенса–Штейнера (теорема Штейнера): Момент инерции I_A относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_C относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

,

(1.85)

где m – масса твёрдого тела; l – расстояние между осями.

Период T и частота ω₀ гармонических колебаний математического маятника (формула Гюйгенса):

,

(1.86)

где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника:

,

(1.87)

где L – приведённая длина физического маятника:

,

(1.88)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения; m – масса маятника; d – расстояние между точкой подвеса (осью вращения) и центром масс.

 

ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 1

Вариант	Номера задач
0	101	111	117	137	143	149	158	165	173
1	106	109	119	138	144	150	157	166	174
2	103	113	118	139	145	151	159	167	175
3	107	116	122	134	141	152	163	169	176
4	102	111	118	135	142	153	158	168	177
5	105	114	121	133	142	154	162	170	178
6	103	110	120	140	141	156	159	171	179
7	108	112	123	134	146	155	160	172	180
8	104	115	117	135	147	149	161	170	178
9	106	109	124	136	148	156	164	169	174

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Два свинцовых шара массами m₁ = 2 кг и m₂ = 3 кг подвешены на нитях длиной l = 70 см. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол 60° и отпустили. Считая удар центральным и неупругим, определите: 1) высоту h, на которую поднимутся шары после удара; 2) энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Решение: Удар неупругий, поэтому после удара шары движутся с одинаковой скоростью. Запишем закон сохранения импульса:

,

(1)

где v₁и v₂ – скорости шаров до удара, u – после удара.

Скорость v₁ малого шара найдём из закона сохранения механической энергии:

,

откуда:

.

Подставим в (1), тогда:

.

Из закона сохранения механической энергии имеем:

.

Откуда:

.

Энергия, израсходованная на деформацию шаров при ударе, равна:

,
.

Проверяем размерность:

.

Пример 2. Человек сидит в центре скамьи Жуковского, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n₁ = 30 мин⁻¹. В вытянутых в стороны руках он держит по гире массой m = 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения l₁ = 60 см. Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения I₀ = 2 кг·м². Определите: 1) частоту n₂ вращения скамьи с человеком; 2) какую работу А совершит человек, если он прижмёт гири к себе так, что расстояние от каждой гири до оси станет равным l₂ = 20 см.

Решение: Так как момент внешних сил относительно вертикальной оси вращения равен нулю, то для этой системы выполняется закон сохранения момента импульса:

,

(1)

где I₁ и I₂ – моменты инерции всей системы до сближения и после сближения, ω₁ и ω₂ − угловые скорости соответственно.

Моменты инерции I₁ и I₂ складываются соответственно из моментов инерции человека, платформы и гирь относительно оси вращения. Поэтому мы можем записать:

.

(2)

Угловые скорости равны:

.

(3)

Подставив (2) и (3) в (1), мы получаем:

.

Работа, совершаемая человеком, равна изменению кинетической энергии системы:

.

Из уравнения (1) запишем:

.

Тогда:

Пример 3. С наклонной плоскости скатывается без скольжения сплошной цилиндр и тележка, поставленная на лёгкие колёса. Какое тело скатывается быстрее и во сколько раз? Масса тележки и цилиндра одинаковы.

Решение: Движение центров масс обоих тел является равноускоренным без начальной скорости(v₀ = 0). Ускорение:

,

где v – скорость в конце наклонной плоскости. Таким образом, путь, пройденный телами, будет равен:

.

Тогда соотношение времён будет:

.

Так как движение происходит без трения для обоих тел, то можно записать из закона сохранения энергии:

,

где ∆Е_к, ∆Е_п – изменение кинетической и потенциальной энергии соответственно.

Потенциальные энергии обоих тел на вершине наклонной плоскости одинаковы, и, следовательно, кинетические энергии внизу плоскости будут также одинаковы. Кинетическая энергия вращающегося при скатывании с плоскости цилиндра:

.

Так как линейная скорость v = ωR, а момент инерции , то:

.

У тележки, по условию задачи, масса колёс очень мала и, следовательно, кинетической энергией вращения этих колес мы можем пренебречь. Тогда кинетическая энергия тележки будет равна:

.

Так как , то имеем:

,

откуда:

.

Цилиндр скатывается медленнее, чем тележка.

Пример 4. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct³, где А = 2 м, В = 1 м/с, С = –0,5 м/с³. Найдите координату х, скорость v и ускорение а точки в момент времени t = 2 с.

Решение: Координату х найдём, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В, С и времени t:

.

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени:

.

Ускорение точки найдём, взяв первую производную от скорости по времени:

.

В момент времени t = 2 с:

,
.

Пример 5. Сплошной цилиндр массой m = 0,5 кг и радиусом R = 0,02 м вращается относительно оси, совпадающей с осью цилиндра, по закону φ = 12 + 8t – 0,5t². На цилиндр действует сила, касательная к поверхности. Найдите эту силу и тормозящий момент.

Решение: Цилиндр вращается относительно оси, совпадающей с его осью, по закону изменения угла:

.

Угловая скорость:

.

Угловое ускорение определяется как вторая производная от угла поворота:

.

Тормозящий момент можно определить из основного уравнения вращательного движения:

,

где – момент инерции цилиндра. Тогда:

.

Знак «минус» показывает, что вектор момента силы направлен противоположно вектору угловой скорости.

С другой стороны, момент силы равен:

,

но так как сила действует касательно к поверхности, то sinφ = 1 и:

.

Пример 6. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень. Определите длину стержня, если частота колебаний маятника максимальна, когда точка подвеса О находится от центра масс С на расстоянии 20,2 см.

Решение: Циклическая частота колебаний физического маятника равна:

,

(1)

где m – масса маятника, g – ускорение свободного падения, I – момент инерции стержня относительно точки подвеса.

Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно точки подвеса, отстоящей от центра масс на расстоянии х, равен:

.

(2)

Подставив (2) в (1), получаем:

.

Так как частота колебаний должна быть максимальной, найдём экстремум этой функции:

,

откуда:

и длина стержня:

.

Пример 7. Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические колебания с частотой ν = 0,2 Гц. Амплитуда колебаний равна 5 см. Определите: 1) максимальную силу, действующую на точку; 2) полную энергию колеблющейся точки.

Решение: Уравнение гармонических колебаний:

.

Тогда скорость и ускорение колеблющейся точки:

Согласно второму закону Ньютона сила, действующая на точку:

.

Значение силы максимально, когда:

.

Так как ω = 2πν, то искомое значение силы будет равно:

.

Подставим численные значения:

.

Проверяем размерность:

.

Полная энергия колеблющейся точки равна:

.

Подставим численные значения:

.

Проверяем размерность:

.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1

101. Точка движется по окружности радиусом R = 1,2 м. Уравнение движения точки φ = Аt + Вt³, где А = 0,5 рад/с; В = 0,2 рад/с³. Определите тангенциальное а_τ, нормальное а_n и полное а ускорения точки в момент времени t = 4 с.

102. Определите скорость v и полное ускорение а точки в момент времени t = 2 с, если она движется по окружности радиусом R = 1 м согласно уравнению φ = Аt + Bt³, где А = 8 рад/с; В =
–1 рад/с³; φ – криволинейная координата, отсчитанная от некоторой точки, принятой за начальную, вдоль окружности.

103. По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: х₁ = А₁ + В₁t + С₁t² и х₂ = А₂ + В₂t + С₂t², где А₁ = 10 м; В₁ = 1 м/с; С₁ = –2 м/с²; А₂ = 3 м; В₂ = 2 м/с; С₂ = 0,2 м/с². В какой момент времени τ скорости этих точек будут одинаковы? Найдите ускорения а₁ и а₂ этих точек в момент времени t = 3 с.

104. Определите полное ускорение а в момент времени t = 3 с точки, находящейся на ободе колеса радиусом R = 0,5 м, вращающегося согласно уравнению φ = Аt + Вt³, где А = 2 рад/с, В = 0,2 рад/с³.

105. Точка движется по окружности радиусом R = 8 м. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки а_n = 4 м/с², вектор полного ускорения а образует в этот момент с вектором нормального ускорения а_n угол α = 60°. Найдите скорость v и тангенциальное ускорение а_τ точки.

106. Точка движется по прямой согласно уравнению х = Аt + Вt³, где А = 6 м/с; В = –0,125 м/с³. Определите среднюю путевую скорость  точки в интервале времени от t₁ = 2 с до t₂ = 6 с.

107. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения имеет вид х = Аt + Вt³, где А = 3 м/с; В = 0,06 м/с³. Найдите скорость v и ускорение а точки в момент времени t₁ = 0 и t₂ = 3 с. Каковы средние значения скорости  и ускорения  за первые 3 с движения?

108. Диск радиусом R = 0,2 м вращается согласно уравнению φ = А + Вt + Сt³, где А = 3 рад; В = –1 рад/с; C = 0,1 рад/с³. Определите тангенциальное а_τ, нормальное а_n и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

109. С высоты h = 2 м на стальную плиту свободно падает шарик массой m = 200 г и подпрыгивает на высоту h₁ = 0,5 м. Определите импульс p, полученный шариком при ударе.

110. При горизонтальном полете со скоростью v = 250 м/с снаряд массой m = 8 кг разорвался на две части. Бóльшая часть массой m₁ = 6 кг получила скорость U₁ = 400 м/с в направлении полёта снаряда. Определите модуль и направление скорости U₂ меньшей части снаряда.

111. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью v₁ = 3 м/с, в сторону, противоположную движению тележки, прыгает человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной U₁ = 4 м/с. Определите горизонтальную составляющую скорости U_2x человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m₁ = 210 кг, масса человека m₂ = 70 кг.

112. Орудие, жёстко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом α = 30º к линии горизонта. Определите скорость U₂ отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью U₁ = 480 м/с. Масса платформы с орудием и снарядом m₂ = 18 т, масса снаряда m₁ = 60 кг.

113. Две одинаковые лодки массами m = 200 кг каждая (вместе с лодочниками и грузами, находящимися в лодках) движутся параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v = 1 м/с. Когда лодки поравнялись, то с первой лодки на вторую и со второй на первую одновременно перебрасывают грузы массами m₁ = 20 кг. Определите скорости U₁ и U₂ лодок после перебрасывания грузов.

114. Определите импульс p, полученный стенкой при ударе о неё шарика массой m = 300 г, если шарик двигался со скоростью v = 8 м/с под углом α = 60º к плоскости стенки. Удар о стенку считайте упругим.

115. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабжённой лёгкими колёсами. На одном конце стоит человек. Его масса m₁ = 60 кг, масса доски m₂ = 20 кг. С какой скоростью u (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдёт вдоль неё со скоростью (относительно доски) v = 1 м/с? Массой колес пренебрегите, трение не учитывайте.

116. Снаряд, летевший со скоростью v = 400 м/с, разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью U₁ = 150 м/с. Определите скорость U₂ большего осколка.

117. В подвешенный на нити длиной L = 1,8 м деревянный шар массой m₁ = 8 кг попадает горизонтально летящая пуля массой m₂ = 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в ней пулей, отклонилась от вертикали на угол α = 3º? Размером шара пренебрегите. Удар пули считайте прямым, центральным.

118. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m₁ = 300 кг, ударяет молот массой m₂ = 8 кг. Определите коэффициент полезного действия η удара, считая удар неупругим. Полезной считайте энергию, затраченную на деформацию куска железа.

119. Шар массой m₁ = 1 кг движется со скоростью v₁ = 4 м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 2 кг, движущимся навстречу со скоростью v₂ = 3 м/с. Каковы скорости U₁ и U₂ шаров после удара? Удар считайте абсолютно упругим, прямым, центральным.

120. Шар массой m₁ = 3 кг движется со скоростью v₁ = 2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂ = 5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считайте абсолютно неупругим, прямым, центральным.

121. Определите коэффициент полезного действия η неупругого удара бойка массой m₁ = 0,5 т, падающего на сваю массой m₂ = 120 кг. Полезной считайте энергию, затраченную на вбивание сваи.

122. Шар массой m₁ = 4 кг движется со скоростью v₁ = 5 м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 6 кг, который движется навстречу со скоростью v₂ = 2 м/с. Определите скорости U₁ и U₂ шаров после удара. Удар считайте абсолютно прямым, упругим, центральным.

123. Вагон массой m = 35 т движется на упор со скоростью v = 0,2 м/с. При полном торможении вагона буферные пружины сжимаются на ΔL = 12 см. Определите максимальную силу F_maxсжатия буферных пружин и продолжительность Δt торможения.

124. Шар массой m₁ = 5 кг движется со скоростью v₁ = 1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂ = 2 кг. Определите скорости U₁ и U₂ шаров после удара. Удар считайте абсолютно прямым, упругим, центральным.

125. Лодка длиной L = 3 м и массой m = 120 кг стоит на спокойной воде. На носу и корме находится два рыбака массами m₁ = 60 кг и m₂ = 90 кг. На какое расстояние сдвинется лодка относительно воды, если рыбаки поменяются местами?

126. Плот массой m₁ = 150 кг и длиной L = 2 м плавает на воде. На носу находится человек, масса которого m₂ = 80 кг. С какой наименьшей скоростью v и под каким углом α к плоскости горизонта должен прыгнуть человек вдоль плота, чтобы попасть на противоположный край?

127. На покоящийся шар массой m₁ = 5 кг налетает со скоростью v₂ = 5 м/с шар массой m₂ = 3 кг. Направление движения второго шара изменилось на угол α = 45º. Определите скорости U₁ и U₂ шаров после удара, если удар шаров был абсолютно упругим.

128. Атом распадается на две части массами m₁ = 1,6·10^–25 кг и m₂ = 2,3·10^–25 кг. Определите кинетическую энергию E_к1 и E_к2 частей атома, если их общая кинетическая энергия E_к = 2,2·10^–11 Дж. Кинетической энергией и импульсом атома до распада пренебрегите.

129. На сколько переместится относительно берега лодка длиной L = 3,5 м и массой m₁ = 200 кг, если стоящий на корме человек массой m₂ = 80 кг переместится на нос лодки? Считайте лодку расположенной перпендикулярно берегу.

130. С вершины наклонной плоскости высотой h = 3 м соскальзывает без трения тело массой m = 0,5 кг. Определите изменение Δp импульса тела у основания наклонной плоскости.

131. Шар массой m₁ = 2 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массой и при этом теряет 40% кинетической энергии. Определите массу m₂ большего шара. Удар считайте абсолютно упругим, прямым, центральным.

132. Частица массой m₁ = 4·10^–20 г сталкивается с покоящейся частицей массой m₂ = 10^–19 г. Считайте столкновение абсолютно упругим. Определите потерю энергии первой частицы.

133. Определите работу A растяжения двух соединённых последовательно пружин с коэффициентами жёсткости k₁ = 400 Н/м и k₂ = 250 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на ΔL = 2 см.

134. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m₁ = 10 г со скоростью v = 300 м/с. Затвор пистолета массой m₂ = 200 г прижимается к стволу пружиной, жёсткость которой k = 25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после вылета? Считайте, что пистолет жёстко закреплён.

135. Пружина жёсткостью k = 500 Н/м сжата силой F = 100 Н. Определите работу A внешней силы, дополнительно сжимающей эту пружину ещё на ΔL = 2 см.

136. Две пружины жесткостью k₁ = 0,5 кН/м и k₂ = 1 кН/м скреплены параллельно. Определите потенциальную энергию E_п данной системы при абсолютной деформации ΔL = 4 см.

137. Какую нужно совершить работу A, чтобы пружину жёсткостью k = 800 Н/м, сжатую на x = 6 см, дополнительно сжать на Δx = 8 см?

138. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то пружина сожмётся на ΔL = 3 мм. На сколько сожмёт пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h = 8 см?

139. Из пружинного пистолета с пружиной жёсткостью k = 150 Н/м был произведён выстрел пулей массой m = 8 г. Определите скорость v пули при вылете её из пистолета, если пружина была сжата на Δx = 4 см.

140. Налетев на пружинный буфер, вагон массой m = 16 т, двигавшийся со скоростью v = 0,6 м/с, остановился, сжав пружину на ΔL = 8 см. Найти общую жёсткость k пружин буфера.

141. Определите скорость поступательного движения сплошного цилиндра, скатившегося с наклонной плоскости высотой h = 20 см.

142. Тонкостенный цилиндр, масса которого m = 12 кг, а диаметр основания D = 30 см, вращается согласно уравнению φ = А + Bt + Ct ³, где А = 4 рад; B = –2 рад/с; C = 0,2 рад/с³. Определите действующий на цилиндр момент сил М в момент времени t = 3 с.

143. На обод маховика диаметром D = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Определите момент инерции I маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 3 с приобрёл угловую скорость ω = 9 рад/с.

144. Нить с привязанными к её концам грузами массами m₁ = 50 г и m₂ = 60 г перекинута через блок диаметром D = 4 см. Определите момент инерции I блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение β = 1,5 рад/с².

145. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину согласно уравнению φ = А t + Bt³, где А = 2 рад/с; B = 0,2 рад/с³. Определите вращающий момент М, действующий на стержень через время t = 2 с после начала вращения, если момент инерции стержня I = 0,048 кг·м².

146. По горизонтальной плоской поверхности катится диск со скоростью v = 8 м/с. Определите коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь S = 18 м.

147. Определите момент силы М, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой n = 12 с^–1, чтобы он остановился в течение времени Δt = 8 с. Диаметр блока D = 30 см. Массу блока m = 6 кг считайте равномерно распределённой по ободу.

148. Блок, имеющий форму диска массой m = 0,4 кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,7 кг. Определите силы Т₁ и Т₂ натяжения нити по обе стороны блока.

149. На краю платформы в виде диска, вращающегося по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n₁ = 8 мин^–1, стоит человек массой m₁ = 70 кг. Когда человек перешёл к центру платформы, она стала вращаться с частотой n₂ = 10 мин^–1. Определите массу m₂ платформы. Момент инерции человека рассчитывайте как для материальной точки.

150. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром D = 0,8 м и массой m₁ = 6 кг стоит человек массой m₂ = 60 кг. С какой угловой скоростью ω начнёт вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой m = 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии r = 0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча v = 5 м/с.

151. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень вертикально вдоль оси вращения скамьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного в верхнем конце стержня. Скамейка неподвижна, колесо вращается с частотой n₁ =
15 с^–1. С какой угловой скоростью ω₂ будет вращаться скамья, если человек повернет стержень на угол φ = 180º и колесо окажется на нижнем конце стержня? Суммарный момент инерции человека и скамьи I = 8 кг·м², радиус колеса R = 25 см. Массу m = 2,5 кг колеса можно считать равномерно распределённой по ободу. Считайте, что центр масс человека с колесом находится на оси платформы.

152. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью ω₁ = 4 рад/с. С какой угловой скоростью ω₂ будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи I = 5 кг·м². Длина стержня L = 1,8 м, масса m = 6 кг. Считайте, что центр масс стержня с человеком находится на оси платформы.

153. Платформа в виде диска диаметром D = 3 м и массой m₁ = 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью ω₁ будет вращаться эта платформа, если по её краю пойдёт человек массой m₂ = 70 кг со скоростью v = 1,8 м/с относительно платформы?

154. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол φ повернется платформа, если человек пойдёт вдоль края платформы и, обойдя её, вернётся в исходную (на платформе) точку? Масса платформы m₁ = 280 кг, масса человека m₂ = 80 кг. Момент инерции человека расcчитайте как для материальной точки.

155. Шарик массой m = 60 г, привязанный к концу нити длиной L₁ = 1,2 м, вращается с частотой n₁ = 2 с^–1, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачиваетcя, приближая шарик к оси вращения, до расстояния L₂ = 0,6 м. С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу A совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебрегите.

156. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 75 см и массой m = 40 кг приложена сила F = 1 кН. Определите угловое ускорение β и частоту вращения n маховика через время t = 10 с после начала действия силы, если радиус r шкива равен 12 см. Силой трения пренебрегите.

157. Определите напряжённость G гравитационного поля на высоте h = 1000 км над поверхностью Земли. Считайте известным ускорение g свободного падения у поверхности Земли и её радиус R.

158. Какая работа A будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой m = 2 кг: 1) с высоты h = 1000 км; 2) из бесконечности?

159. Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой m = 30 кг. Определите работу A, которая при этом будет совершена силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения g и радиус R Земли считайте известными.

160. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета с начальной скоростью v = 5 км/с. На какую высоту h она поднимется?

161. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом Т = 105 мин. Определите высоту орбиты спутника. Ускорение свободного падения g и радиус R Земли считайте известными.

162. На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряжённость суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса земли в 81 раз больше массы Луны и что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.

163. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h = 520 км. Определите период обращения спутника. Ускорение свободного падения g и радиус R Земли считайте известными.

164. Определите линейную v и угловую ω скорость спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте h = 1000 км. Ускорение свободного падения g и радиус R Земли считайте известными.

165. Определите возвращающую силу F в момент времени t = 0,2 с и полную энергию Е точки массой m = 20 г, совершающей гармонические колебания согласно уравнению x = А sinωt, где А = 15 см; ω = 4π с^–1.

166. Определите период Т колебаний стержня длиной L = 30 см около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

167. Определите максимальное ускорение а_max материальной точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой А = 15 см, если наибольшая скорость точки v_max = 30 см/с. Напишите также уравнение колебаний.

168. Точка совершает гармонические колебания, уравнения которых x = А·sinωt, где А = 5 см; ω = 2 с^–1. В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией E_п = 0,1 мДж, на неё действовала возвращающая сила F = 5 мН. Найдите этот момент времени t и соответствующую ему фазу φ колебаний.

169. Определите частоту ν гармонических колебаний диска радиусом R = 20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

170. Определите период Т гармонических колебаний диска радиусом R = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

171. На стержне длиной l = 30 см укреплены два одинаковых грузика: один – в середине стержня, другой – на одном из его концов. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определите приведенную длину L_пр и период Т гармонических колебаний. Массой стержня пренебрегите.

172. Определите максимальную кинетическую энергию E_{к max} материальной точки массой m = 2 г, которая совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4 см и частотой ν = 5 Гц.

173. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых x = А₁ sinω₁t и y = А₂ cosω₂t, где А₁ = 8 см; А₂ = 4 см; ω₁ = ω₂ = 2 с^–1. Напишите уравнение траектории и постройте её. Покажите направление движения точки.

174. Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода: x₁ = А₁ sinω₁t и x₂ = А₂sinω₂(t + τ), где А₁ = А₂ = 3 см; ω₁ = ω₂ = π с^–1; τ = 0,5 с. Определите амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Напишите его уравнение. Постройте векторную диаграмму для момента времени t = 0.

175. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих согласно уравнениям: x = А₁ cosω₁t и y = А₂sinω₂t, где А₁ = 2 см; ω₁ = 2 с^–1; А₂ = 4 см; ω₂ = 2 с^–1. Определите траекторию точки. Постройте траекторию с соблюдением масштаба, укажите направление движения точки.

176. Точка совершает одновременно два колебания, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и выражаемых уравнениями: x = А₁ sinω₁t и y = А₂ cosω₂t, где А₁ = 2 см; ω₁ = 1 с^–1; А₂ = 2 см; ω₂ = 2 с^–1. Найдите уравнение траектории, постройте её с соблюдением масштаба и укажите направление движения точки.

177. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями: x = А₁cosω₁t и y = А₂sinω₂t, где А₁ = 4 см; А₂ = 6 см; ω₁ = 2ω₂. Найдите разность фаз Δφ колебаний в этих точках.

178. Шарик массой m = 60 г колеблется с периодом Т = 2 с. В начальный момент времени смещение шарика А₀ = 4 см и он обладает энергией Е = 0,02 Дж. Запишите уравнение простого гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени.

179. Материальная точка участвует в двух колебаниях, происходящих по одной прямой и выражаемых уравнениями: x = А₁sinω₁t и y = А₂cosω₂t, где А₁ = 3 см; А₂ = 4 см; ω₁ = ω₂ = 2 с^–1. Найдите амплитуду A сложного движения, его частоту ν и начальную фазу φ₀; напишите уравнение движения. Постройте векторную диаграмму для момента времени t = 0.

180. Определите скорость v распространения волн в упругой среде, если для двух точек, отстоящих друг от друга на Δx = 15 см, разность фаз Δφ колебаний равна π/2. Частота колебаний ν = 25 Гц.

 

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ
КУРСА ФИЗИКИ

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Основные законы и формулы

Количество вещества ν – физическая величина, характеризующая количествоатомов, молекул, ионов, электронов или любых других частиц, содержащихся в веществе:

(2.1)

Закон кратных отношений:

Если два элемента образуют несколько соединений, то массы одного элемента, приходящиеся на единицу массы другого, относятся как целые числа.

Закон Авогадро:

В равных объёмах любых газов при одинаковых давлении и температуре содержится одинаковое число молекул, а именно N_А ≈ 6,02·10²³ молекул (число Авогадро). При этом 1 моль любого газа при нормальных условиях (н. у. – давление p₀ = 1 атм, температура t₀ = 0 °С) занимает одинаковый объём (V₀ ≈ 22,4 л).

Молярная масса вещества μ – масса одного моля вещества:

(2.2)

Закон парциальных давлений Дальтона:

Давление смеси газов, химически не взаимодействующих друг с другом, равно сумме парциальных давлений газов, составляющих смесь, т. е. сумме тех давлений, которые производили бы отдельные газы этой смеси, занимая весь объём.

Молярная масса смеси газов:

(2.3)

где m_i – масса i-той компоненты смеси; ν_i – количество вещества i-той компоненты смеси; n – число компонент смеси.

Уравнение изотермы идеального газа (закон Бойля–Мариотта):

.

(2.4)

Уравнение изобары идеального газа (закон Гей-Люссака):

.

(2.5)

Уравнение изохоры для идеального газа (закон Шарля):

.

(2.6)

Объединённый закон Бойля–Мариотта и Гей-Люссака:

.

(2.7)

Уравнение Менделеева–Клапейрона (Клапейрона–Менделеева):

,

(2.8)

где μ – молярная масса газа.

Если система заключена в адиабатическую оболочку, не обладающую теплопроводностью (т. е. не допускающую обмен теплотой с окружающими телами и системами), то единственным способом изменения внутренней энергии системы является производство над ней работы внешними силами, изменяющими параметры системы:

.

(2.9)

Количество теплоты, сообщённое термодинамической системе (телу), идёт на увеличение внутренней энергии и совершение термодинамической системой работы (первое начало термодинамики):

.

(2.10)

 

Изобарический процесс: p = const
Изотермический процесс: T = const
Изохорический процесс: V = const
Адиабатический процесс: Δ Q = 0

 

Теплоёмкость C термодинамической системы численно равна количеству теплоты δQ, которое необходимо передать системе (или отвести от неё), чтобы изменить её температуру T на 1 К (или 1 °С); точнее – это отношение количества теплоты, поглощаемой системой при бесконечно малом изменении её температуры, к этому изменению:

,

(2.11)

где δQ – переданное системе количество теплоты, которое зависит от способа перехода системы из одного состояния в другое, и поэтому является функционалом; ΔT – бесконечно малое изменение температуры.

Удельная теплоёмкость cданного вещества – количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг данного вещества на один градус.

Каждому процессу, характеризующемуся простейшим дополнительным условием типа V = const или p = const, отвечает своя теплоёмкость – C_V (теплоёмкость при постоянном объёме) и C_p (теплоёмкость при постоянном давлении).

Формула (уравнение) Майера:

.

(2.12)

Энтальпия H термодинамической системы:

.

(2.13)

Отношение молярных теплоёмкостей(илипоказатель адиабаты):

,

(2.14)

где i – число степеней свободы молекулы.

Уравнение адиабаты (уравнение Пуассона ):

,

(2.15)

где p – давление газа; V – объём газа; γ – показатель адиабаты.

Уравнение политропы:

.

(2.16)

 

Процесс	Молярная теплоёмкость	Показатель n	Закон процесса
Изотермический	∞	1	pV = const
Изохорический	CV	∞	V = const
Изобарический	Cp	0	p = const
Адиабатический	0	γ	pVγ = const
Политропический	C	n	pVn = const

 

Коэффициент полезного действия (КПД) – отношение полученной работы к полному количеству теплоты, отнятому от нагревателя:

.

(2.17)

Равенство Клаузиуса для идеального обратимого кругового процесса:

.

(2.18)

Энтропия:

.

(2.19)

Интегральное определение энтропии:

.

(2.20)

Формула (принцип) Больцмана:

,

(2.21)

где W – термодинамическая вероятность.

При всех процессах, происходящих в макроскопической системе, энтропия системы возрастает (необратимые процессы) или, в крайнем случае, остаётся неизменной (обратимые процессы), т. е. имеет место закон возрастания энтропии:

.

(2.22)

Максвелловская функция:

.

(2.23)

Средняя (арифметическая) скорость молекул :

.

(2.24)

Средняя квадратичная скорость:

.

(2.25)

Наиболее вероятная скорость:

.

(2.26)

Барометрическая формула:

.

(2.27)

Закон Больцмана:

,

(2.28)

где A – постоянная величина; ε – энергия частицы; k – постоянная Больцмана.

Распределение Максвелла–Больцмана:

,

(2.29)

где E_п = E_п(x,y,z) – потенциальная энергия одной частицы во внешнем потенциальном поле; m – масса частицы; k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура; – интеграл по состоянию одной частицы; V – полный объём системы; dV = dxdydz.

Длина свободного пробега:

,

(2.30)

где – средняя скорость теплового движения молекул (средний путь за одну секунду); Z – число столкновений за 1 с.

Уравнение теплопроводности (закон) Фурье:

,

(2.31)

где ΔQ – количество теплоты, переносимое через площадь сечением S за время Δt; λ_т – коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств вещества.

Коэффициент температуропроводности a связан с коэффициентом теплопроводности λ_т соотношением:

,

(2.32)

где c – удельная теплоёмкость вещества; ρ – плотность вещества.

Плотность теплового потока (тепловой поток через единицу площади за единицу времени):

.

(2.33)

Закон Ньютона:

,

(2.34)

где q – тепловой поток (измеряемый в ваттах); S – площадь поверхности источника теплоты (в м²); – коэффициент конвективного теплообмена (Вт·К^–1); T_w – температура поверхности раздела; T_c – характерная температура среды (в кельвинах).

Коэффициент теплопроводности для идеальных газов λ_т:

(2.35)

Закон Стéфана–Бóльцмана:

,

(2.36)

где q – тепловой поток (в джоулях в секунду, т. е. в Вт); S – площадь поверхности излучающего тела (в м²); T₁ и T₂ – температуры (в кельвинах) излучающего тела и окружения, поглощающего это излучение.

Коэффициент σ называется постоянной Стéфана–Бóльцмана и равен (5,66961 ± 0,00096)·10^–8 Вт·м^–2·К^–4.

Закон Фика:

,

(2.37)

где J_m – плотность потока массы; ∆M – масса вещества, переносимая за время ∆t через площадку S при градиенте плотности ; D – коэффициент диффузии (коэффициент молекулярной диффузии), зависящий как от свойств вещества, так и от условий, при которых происходит диффузия.

Коэффициент вязкости для идеального газа:

(2.38)

Уравнение Ван-дер-Ваальса:

,

(2.39)

где R – универсальная газовая постоянная.

Уравнение Ван-дер-Ваальса в виде, в котором его можно использовать для любой массы m газа:

.

(2.40)

Внутренняя энергия реального газа:

.

(2.41)

Сила поверхностного натяжения, приходящаяся на единицу длины контура, носит название коэффициента поверхностного натяжения:

.

(2.42)

Формула Лапласа:

.

(2.43)

Формула Жюрена:

.

(2.44)

Тепловое расширение твёрдых тел количественно выражается коэффициентом линейного расширения α:

,

(2.45)

где l₀ – длина тела при начальной температуре.

ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 2

Вариант	Номера задач
0	204	209	225	233	249	259	269	273
1	202	212	226	234	250	257	270	275
2	207	211	227	235	255	258	268	274
3	208	213	228	236	251	262	272	279
4	202	214	230	237	252	260	269	280
5	204	216	229	238	253	263	268	274
6	205	209	230	239	251	261	266	276
7	201	212	232	240	254	262	265	278
8	203	215	231	235	255	264	267	279
9	206	210	232	239	256	261	271	280

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Вычислите удельные теплоёмкости при постоянном объёме (c _V) и при постоянном давлении (с _p) смеси неона и водорода, если масса m₁ неона составляет 80% массы смеси, масса m₂ водорода – 20%.

Решение: Удельные теплоёмкости идеальных газов при постоянном объёме c _V и при постоянном давлении с _p выражаются формулами:

.

Для неона (одноатомный газ) число степеней свободы i = 3, молярная масса μ = 4·10^–3 кг/моль. Для водорода (двухатомный газ) число степеней свободы i = 5, молярная масса μ = 2·10^–3 кг/моль. Вычисляя по этим формулам, получим для неона:

,

а для водорода:

.

Теплоту, необходимую для нагревания смеси на Δt, выразим двумя способами:

,

где c _V – удельная теплоёмкость смеси, и:

,

где c _V1 – удельная теплоёмкость неона, c _V2 – удельная теплоёмкость водорода. Приравняв правые части этих выражений, и, разделив обе части полученного равенства на Δt, получим:

,

откуда:

.

Отношения  и  показывают, какую долю массы смеси составляет масса первого газа (неона) и второго газа (водорода). С учётом этих обозначений последняя формула примет вид:

.

Подставив в эту формулу численные значения величин, найдём:

.

Аналогично получим формулу для вычисления удельной теплоёмкости смеси при постоянном давлении:

,
.

Пример 2. Объём аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 л до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия, если расширение производилось: а) изобарически; б) адиабатически.

Решение: Изменение внутренней энергии газа равно:

,

где i – число степеней свободы молекул.

Для нахождения изменения температуры ΔТ воспользуемся уравнением Менделеева−Клапейрона для начального и конечного состояний газа:

или при изобарном процессе:

.

Тогда изменение внутренней энергии при изобарном расширении будет равно:

.

(1)

При адиабатическом расширении теплообмен с окружающей средой не происходит. Тогда первое начало термодинамики можно записать:

Из этого уравнения следует, что работа расширения газа может быть совершена только за счёт уменьшения внутренней энергии.

Работа, совершённая газом при адиабатическом процессе:

,

где – показатель адиабаты.

Для аргона (одноатомный газ) i = 3, а показатель адиабаты γ = 1,67 и тогда изменение внутренней энергии при адиабатическом процессе будет:

.

(2)

Проверяем размерность:

.

Пример 3. Определите среднюю длину свободного пробега молекул λ и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами водорода, находящегося в сосуде ёмкостью 1 л при температуре 27 ºС и давлении 10 кПа.

Решение: Средняя длина свободного пробега молекул водорода:

,

где d − эффективный диаметр молекулы водорода (данные в справочной литературе), n – концентрация молекул. Согласно основному уравнению молекулярной физики, давление определяется:

где k – постоянная Больцмана. Тогда длина свободного пробега молекулы равна:

.

Среднее число соударений молекулы за 1 с равно:

,

где – средняя арифметическая скорость молекулы.

Число соударений между всеми молекулами за 1 с равно:

,

где N – число молекул водорода в объёме 1 л (10⁻³ м³), N = nV. Тогда:

.

Проверяем размерность:

.

Средняя длина свободного пробега молекулы:

.

Проверяем размерность:

.

Пример4. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в m = 4 кг кислорода при температуре T = 200 К?

Решение: Считаем кислород идеальным газом. Кислород является двухатомным газом, при этом связь между атомами считаем жёсткой. В связи с этим молекуле кислорода приписывается 3 степени свободы на поступательное движение (i = 3) и 2 степени свободы на вращательное движение (i = 2).

Согласно теореме Больцмана, на каждую степень свободы приходится k Т/2 энергии, где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура. Тогда для одной молекулы:

.

Число молекул, содержащихся в данной массе кислорода, будет равно:

,

где – число молей, m – масса газа, μ – молярная масса газа, N_А – постоянная Авогадро.

Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул будет равна:

,

где – универсальная газовая постоянная. Средняя энергия вращательного движения всех молекул будет равна:

Подставим численные значения:

,
.

Проверяем размерность:

.

Пример 5. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 300 К. Определите КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно подаёт ей 1500 Дж теплоты.

Решение: КПД машины равен:

,

откуда:

.

Подставим численные значения:

Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мощность машины:

.

Пример 6. Определите коэффициент поверхностного натяжения спирта, если в капиллярной трубке диаметром 1 мм он поднялся на 11 мм.

Решение: Высота h подъёма жидкости в капиллярной трубке выражается формулой:

,

где θ – краевой угол (θ = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью); R − радиус канала трубки; ρ − плотность жидкости; g − ускорение свободного падения.

Так как радиус капилляра R связан с диаметром d как R = d/2, то:

.

Отсюда получаем коэффициент поверхностного натяжения:

Подставим численные значения:

.

Проверяем размерность:

.

Пример 7. Коэффициент поверхностного натяжения на границе вода-масло равен σ = 0,018 Н/м. Какую работу надо произвести, чтобы каплю масла массой m = 1 г раздробить внутри воды на капельки радиусом r = 10^–4 см. Процесс дробления изотермический. Плотность масла ρ = 900 кг/м³.

Решение: При изотермическом дроблении большой капли на мелкие затрачивается энергия только на образование добавочной поверхности. Внутренняя энергия не меняется. Поэтому работа:

,

где σ − коэффициент поверхностного натяжения; ΔS – добавочная поверхность, равная:

,

где N – число мелких капель; r , R – радиусы мелкой и крупной капли соответственно. Число капель может быть найдено из выражения:

.

Масса масла не изменяется, поэтому масса большой капли равна массе N мелких капель:

,

откуда:

.

Тогда:

.

Подставляя значения N и ΔS в выражение для работы и, пренебрегая единицей по сравнению с N, получаем:

.

Пример 8. Найдите добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть пузырь?

Решение:Плёнка мыльного пузыря имеет сферические поверхности – внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключённый внутри пузыря. Так как толщина плёнки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковые. Поэтому добавочное давление:

,

где R – радиус пузыря, σ – коэффициент поверхностного натяжения. Так как R = d/2, то:

.

Произведём вычисления:

.

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая плёнку, увеличить её поверхность на ΔS, выражается формулой:

.

В данном случае S – общая площадь двух сферических поверхностей плёнки мыльного пузыря; S₀ – общая площадь двух поверхностей плоской плёнки, затягивавшей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая S₀, получаем:

Произведём вычисления:

.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2

201. Определите количество вещества ν и число N молекул кислорода массой m = 0,5 кг.

202. Сколько атомов содержится в ртути: 1) количеством вещества ν = 0,2 моль; 2) массой m = 1 г?

203. Вода при температуре t = 4 °С занимает объём V = 1 см³. Определите количество вещества ν и число N молекул воды.

204. Найдите молярную массу μ и массу m₀ одной молекулы поваренной соли NaCl.

205. Определите массу m₀ одной молекулы углекислого газа.

206. Определите концентрацию n молекул кислорода, находящегося в сосуде объёмом V = 2 л. Количество вещества ν кислорода равно 0,2 моль.

207. Определите количество вещества ν водорода, заполняющего сосуд объёмом V = 3 л, если концентрация молекул газа в сосуде n = 2·10¹⁸ м^–3.

208. В баллоне объёмом V = 3 л содержится кислород массой m = 10 г. Определите концентрацию n молекул газа.

209. Баллон объёмом V = 20 л заполнен азотом при температуре Т = 400 К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на Δp = 200 кПа. Определите массу m израсходованного азота. Процесс считайте изотермическим.

210. В баллоне объёмом V = 15 л находится аргон под давлением p₁ = 600 кПа и температуре Т₁ = 300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до p₂ = 400 кПа, а температура установилась Т₂ = 260 К. Определите массу m аргона, взятого из баллона.

211. Два сосуда одинакового объёма содержат кислород. В одном сосуде давление p₁ = 2 МПа и температура Т₁ = 800 К, в другом – p₂ = 2,5 МПа, Т₂ = 200 К. Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры Т = 200 К. Определить установившееся в сосудах давление p.

212. Вычислите плотность ρ азота, находящегося в баллоне под давлением p = 2 МПа и имеющего температуру Т = 400 К.

213. Определите относительную молекулярную массу М_r газа, если при температуре Т = 154 К и давлении p = 2,8 МПа он имеет плотность ρ = 6,1 кг/м³.

214. Найдите плотность ρ азота при температуре Т = 800 К и давлении p = 1 МПа.

215. В сосуде объёмом V = 40 л находится кислород при температуре Т = 300 К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на Δp = 100 кПа. Определите массу m израсходованного кислорода. Процесс считайте изотермическим.

216. Определите плотность ρ водяного пара, находящегося под давлением p = 2,5 кПа и имеющего температуру Т = 250 К.

217. Количество вещества ν водорода равно 0,5 моль. Определите внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическую энергию  молекулы этого газа при температуре Т = 300 К.

218. Один баллон объёмом V₁ = 10 л содержит кислород под давлением p₁ = 1,5 МПа, другой объёмом V₂ = 22 л содержит азот под давлением p₂ = 0,6 МПа. Когда баллоны соединили между собой, оба газа смешались, образовав однородную смесь (без изменения температуры). Найдите парциальные давления p₁^׳ и p₂^׳ обоих газов в смеси и полное давление p смеси.

219. Смесь водорода и азота общей массой m = 290 г при температуре Т = 600 К и давлении p = 2,46 МПа занимает объём V = 30 л. Определите массу m₁ водорода и массу m₂ азота.

220. В баллоне объёмом V = 22,4 л находится водород при нормальных условиях. После того как в баллон было дополнительно введено некоторое количество гелия, давление в баллоне возросло до p = 0,25 МПа, а температура не изменилась. Определите массу m гелия, введенного в баллон.

221. Смесь состоит из водорода с массовой долей ω₁ = 1/9 и кислорода с массовой долей ω₂ = 8/9. Найдите плотность ρ такой смеси газов при температуре Т = 300 К и давлении p = 0,2 МПа.

222. Смесь кислорода и азота находится в сосуде под давлением р = 1,2 МПа. Определите парциальные давления p₁ кислорода и p₂ азота, если массовая доля ω₁ в кислорода в смеси газов равна 20%.

223. В сосуде объёмом V = 10 л при температуре Т = 450 К находится смесь азота массой m₁ = 5 г и водорода массой m₂ = 2 г. Определите давление p смеси.

224. Смесь азота с массовой долей ω₁ = 87,5% и водорода с массовой долей ω₂ = 12,5% находится в сосуде объёмом V = 20 л при температуре Т = 560 К. Определите давление p смеси, если масса m смеси равна 8 г.

225. Определите суммарную кинетическую энергию Е_к поступательного движения всех молекул газа, находящегося в сосуде объемом V = 3 л под давлением p = 540 кПа.

226. Количество вещества гелия ν = 1,5 моль, температура Т = 120 К. Определите суммарную кинетическую энергию Е_к поступательного движения всех молекул этого газа.

227. Молярная внутренняя энергия U_μ некоторого двухатомного газа равна 6,02 кДж. Определите среднюю кинетическую энергию  вращательного движения одной молекулы этого газа. Газ считайте идеальным.

228. Определите среднюю полную кинетическую энергию  одной молекулы водяного пара при температуре Т = 500 К.

229. Определите среднюю квадратичную скорость v_кв молекулы газа, заключённого в сосуд объёмом V = 2 л под давлением p = 200 кПа. Масса газа m = 0,3 г.

230. Водород находится при температуре Т = 300 К. Найдите среднюю кинетическую энергию  вращательного движения одной молекулы, а также суммарную полную кинетическую энергию Е_к всех молекул этого газа; количество вещества водорода ν = 0,5 моль.

231. Определите, при какой температуре T средняя кинетическая энергия  поступательного движения молекулы газа равна 4,14·10^–21 Дж?

232. В азоте взвешены мельчайшие пылинки, которые движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Масса m каждой пылинки равна 6·10^–10 г. Газ находится при температуре Т = 400 К. Определите средние квадратичные скорости , а также средние кинетические энергии  поступательного движения молекулы азота и пылинки.

233. Определите показатель адиабаты γ идеального газа, который при температуре Т = 350 К и давлении p = 0,4 МПа занимает объём V = 300 л и имеет полную теплоёмкость при постоянном объёме C_V = 857 Дж/К.

234. Определите относительную молекулярную массу М_r и молярную массу μ газа, если разность его удельных теплоёмкостей c_p – c_V = 2,08 кДж/(кг К).

235. В сосуде объёмом V = 6 л находится при нормальных условиях двухатомный газ. Определите полную теплоёмкость C_V этого газа при постоянном объёме.

236. Определите молярные теплоёмкости газа, если его удельные теплоёмкости c_V = 10,4 кДж/(кг·К) и c_p = 14,6 кДж/(кг·К).

237. Найдите удельные c_V и c_p и молярные C_V и C_p теплоёмкости азота и гелия.

238. Вычислите удельные теплоёмкости газа, если его молярная масса μ = 4·10^–3 кг/моль и отношение теплоёмкостей C_p / C_V = 1,67.

239. Трёхатомный газ под давлением p = 240 кПа и при температуре t = 20 °С занимает объём V = 10 л. Определите полную теплоёмкость C_p этого газа при постоянном давлении.

240. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объём V = 5 л. Вычислите полную теплоёмкость при постоянном объёме C_V этого газа.

241. Определите молярные теплоёмкости C_p и C_V смеси двух газов – одноатомного и двухатомного. Количество вещества одноатомного газа ν₁ = 0,4 моля и количество вещества двухатомного газа ν₂ = 0,2 моля.

242. Определите удельные теплоёмкости c_p и c_V водорода, в котором половина молекул распалась на атомы.

243. В сосуде находится смесь двух газов – кислорода массой m₁ = 6 г и азота массой m₂ = 3 г. Определите удельные теплоёмкости c_p и c_V такой смеси.

244. Смешан одноатомный газ, количество вещества которого ν₁ = 2 моля, с трёхатомным газом, количество вещества которого ν₂ = 3 моля. Определите молярные теплоёмкости С _p и С _V этой смеси.

245. Смесь двух газов состоит из гелия массой m₁ = 5 г и водорода массой m₂ = 2 г. Определите отношение теплоёмкостей С _p /С _V этой смеси.

246. Найдите молярные теплоёмкости C_p и C_V смеси кислорода массой m₁ = 2,5 г и азота массой m₂ = 1 г.

247. Относительная молекулярная масса газа M_r = 30, показатель адиабаты γ = 1,4. Вычислите удельные теплоёмкости c_p и c_V этого газа.

248. Определите, какая часть молекул двухатомного газа распалась на атомы, если показатель адиабаты γ образовавшейся смеси равен 1,5?

249. Найдите среднее число  столкновений за время t = 1 с и длину свободного пробега  молекулы гелия, если газ находится под давлением p = 2 кПа при температуре Т = 200 К.

250. Найдите среднюю длину свободного пробега  молекулы азота в сосуде объёмом V = 5 л. Масса газа m = 0,5 г.

251. Водород находится под давлением p = 20 мкПа и имеет температуру Т = 300 К. Определите среднюю длину свободного пробега  молекулы такого газа.

252. При нормальных условиях длина свободного пробега  молекулы водорода равна 0,16 мкм. Определите диаметр d молекулы водорода.

253. Определите среднюю арифметическую скорость  молекулы кислорода, если известно, что средняя длина свободного пробега  молекулы кислорода при нормальном давлении равна 100 нм.

254. Кислород находится под давлением p = 133 нПа при температуре Т = 200 К. Вычислите среднее число  столкновений молекулы кислорода при этих условиях за время t = 1 с.

255. Водород массой m = 2 г при температуре 0 ºС занимает объём V = 2,5 л. Определите среднее число  столкновений молекулы кислорода за время t = 1 с.

256. Средняя длина свободного пробега  молекулы водорода при некоторых условиях равна 2 мм. Определите плотность ρ водорода при этих условиях.

257. При адиабатном сжатии давление воздуха было увеличено от p₁ = 50 кПа до p₂ = 0,5 МПа. Затем при неизменном объёме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определите давление p₃ газа в конце процесса.

258. Кислород массой m = 200 г занимает объём V₁ = 100 л и находится под давлением p₁ = 200 кПа. При нагревании газ расширился при постоянном давлении до объёма V₂ = 300 л, а затем его давление возросло до p₃ = 500 кПа при неизменном объёме. Определите изменение внутренней энергии ΔU газа, совершённую им работу W и теплоту Q, переданную газу. Постройте график процесса.

259. Объём водорода при изотермическом расширении (Т = 300 К) увеличился в n = 3 раза. Определите работу W, совершённую газом, и теплоту Q, полученную им при этом. Масса m водорода равна 200 г.

260. Водород массой m = 40 г, имевший температуру Т = 300 К, адиабатно расширился, увеличив объём в n₁ = 3 раза. Затем при изотермическом сжатии объём газа уменьшился в n₂ = 2 раза. Определите полную работу W, совершённую газом, и конечную температуру Т газа.

261. Азот массой m = 0,1 кг был изобарно нагрет от температуры Т₁ = 200 К до температуры Т₂ = 400 К. Определите работу W, совершённую газом, полученную им теплоту Q и изменение ΔU внутренней энергии азота.

262. Кислород массой m = 250 г, имевший температуру Т₁ = 200 К, был адиабатно сжат. При этом была совершена работа W = 25 кДж. Определите конечную температуру Т₂.

263. Определите во сколько раз увеличится объём водорода, содержащий количество вещества ν = 0,4 моля, при изотермическом расширении, если при этом газ получит теплоту Q = 800 Дж? Температура водорода Т = 300 К.

264. В баллоне при температуре Т = 145 К и давлении p = 2 МПа находится кислород. Определите температуру Т и давление p кислорода после того, как из баллона будет очень быстро выпущена половина находящейся в нём массы газа.

265. Определите работу W₂ изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, коэффициент полезного действия которого η = 0,4, если работа изотермического расширения W₁ = 8 Дж.

266. Газ, совершающий цикл Карно, отдал холодильнику теплоту Q₂ = 14 кДж. Определите температуру Т₁ нагревателя, если при температуре холодильника Т₂ = 280 К работа цикла W = 6 кДж.

267. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от нагревателя теплоту Q₁ = 4,38 кДж и совершил работу W = 2,4 кДж. Определите температуру нагревателя, если температура холодильника Т₂ = 273 К.

268. Газ, совершающий цикл Карно, отдал холодильнику 67% теплоты, полученной от нагревателя. Определите температуру Т₂ холодильника, если температура нагревателя Т₁ = 430 К.

269. Определите, во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия η цикла Карно при повышении температуры нагревателя от Т₁ = 380 К до Т₁′ = 560 К? Температура холодильника Т₂ = 280 К.

270. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Пусть температура Т₁ нагревателя равна 500 К, температура холодильника Т₂ = 250 К. Определите термический коэффициент полезного действия η цикла, а также работу W₁ рабочего вещества при изотермическом расширении, если при изотермическом сжатии совершена работа W₂ = 70 Дж.

271. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту Q₁ = 84 кДж. Определите работу W газа, если температура Т₁ нагревателя в 3 раза выше температуры Т₂ холодильника.

272. В цикле Карно газ получил от нагревателя теплоту Q₁ = 500 Дж и совершил работу W = 100 Дж. Температура нагревателя Т₁ = 400 К. Определите температуру Т₂ холодильника.

273. Найдите массу m воды, вошедшей в стеклянную трубку с диаметром канала d = 0,8 мм. Трубка опущена в воду параллельно поверхности на малую глубину. Считайте смачивание полным.

274. Какую работу надо совершить при выдувании мыльного пузыря, чтобы увеличить его объём от V₁ = 8 см³ до V₂ = 16 см³? Считайте процесс изотермическим.

275. Какая энергия Е выделится при слиянии двух капель ртути диаметром d₁ = 0,8 мм и d₂ = 1,2 мм в одну каплю?

276. Определите давление p внутри воздушного пузырька диаметром d = 4 мм, находящегося в воде у самой её поверхности. Атмосферное давление считайте нормальным.

277. Пространство между двумя стеклянными параллельными пластинками с площадью поверхности S = 100 см² каждая, расположенными на расстоянии L = 20 мкм друг от друга, заполнено водой. Определите силу F, прижимающую пластинки друг к другу. Считайте мениск вогнутым с диаметром d, равным расстоянию между пластинками.

278. Глицерин поднялся в капиллярной трубке диаметром канала d = 1 мм на высоту h = 20 мм. Определите коэффициент поверхностного натяжения σ глицерина. Считайте смачивание полным.

279. В воду погружена на очень малую глубину параллельно поверхности стеклянная трубка с диаметром канала d = 1 мм. Определите массу m воды, вошедшей в трубку.

280. На сколько давление p воздуха внутри мыльного пузыря больше нормального атмосферного давления p₀, если диаметр пузыря d = 5 мм?

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Основные физические постоянные (округлённые значения)

Величина	Обозначение	Значение
Нормальное ускорение свободного падения	g	9,81 м/с2
Газовая (универсальная) постоянная	R	8,314 Дж·К–1 моль–1
Гравитационная постоянная	G	6,672·10–11 м3·кг–1·с–2
Масса покоя электрона	m e	9,109·10–31 кг
Объём 1 моля газа при нормальных условиях	V0	22,41·10–3 м3·моль–1
Постоянная (число) Авогадро	NA	6,022·1023 моль–1
Постоянная Больцмана	k	1,38·10–23 Дж·К–1
Постоянная Вина	b	2,9·10–3 м·К
Постоянная Планка	h	6,626·10–34 Дж·с
Постоянная Планка универсальная	ħ	1,054·10–34 Дж·с
Постоянная Стефана–Больцмана	σ	5,67·10–8 Вт·м–2·К–4
Скорость света в вакууме	c0	3·108 м·с–1
Температура, соответствующая 1 эВ	Т	11 606 К
Электронвольт	эВ	1,6·10–19 Дж
Элементарный заряд (заряд протона)	e	1,6·10–19 Кл
Электрическая постоянная	ε0	8,8510–12 Ф/м
Магнитная постоянная	μ0	4π10–7 Гн/м
Атомная единица массы	а.е.м.	1,6610–27 кг
Радиус Бора	а0	0,52910–10 м

2. Плотность твёрдых тел

Твёрдое тело	Плотность, кг/м3	Твёрдое тело	Плотность, кг/м3
Алюминий	2,7·103	Литий	0,53·103
Барий	3,5·103	Медь	8,93·103
Ванадий	6,02·103	Мрамор	2,7·103
Висмут	9,8·103	Никель	8,9·103
Вольфрам	19,3·103	Платина	21,4·103
Гранит	2,6·103	Плексиглас (оргстекло)	1,2·103
Древесина сухая, сосна	0,5·103	Пробка	0,2·103
Железо, сталь	7,88·103	Свинец	11,3·103
Золото	19,3·103	Серебро	10,5·103
Каменная соль	2,2·103	Стекло (оконное)	2,5·103
Кобальт	8,8·103	Цезий	1,9·103
Латунь	8,55·103	Цинк	7,15·103

3. Плотность жидкостей

Жидкость	Плотность, кг/м3	Жидкость	Плотность, кг/м3
Бензин (20 ºС)	0,7·103	Нефть	0,8·103
Вода при 4 °С	1,0·103	Ртуть	13,6·103
Глицерин	1,26·103	Сероуглерод	1,26·103
Молоко	1,03·103	Спирт	0,8·103

4. Плотность газов (при нормальных условиях)

Газ	Плотность, кг/м3	Газ	Плотность, кг/м3
Азот	1,25	Воздух	1,29
Аргон	1,78	Гелий	0,18
Водород	0,09	Кислород	1,43

5. Коэффициент поверхностного натяжения жидкостей при 20 °С

Жидкость	Коэффициент, мН/м	Жидкость	Коэффициент, мН/м
Вода	73	Ртуть	500
Глицерин	62	Спирт	22
Мыльная вода	40

6. Эффективный диаметр молекулы

Газ	Диаметр, м	Газ	Диаметр, м
Азот	3,0·10–10	Гелий	1,9·10–10
Водород	2,3·10–10	Кислород	2,7·10–10

7. Некоторые астрономические величины

Наименование	Значение	Наименование	Значение
Радиус Земли	6,37·106 м	Расстояние от центра Земли до центра Солнца	1,49·1011 м
Масса Земли	5,98·1024 кг
Радиус Солнца	6,95·108 м
Масса Солнца	1,98·1030 кг	Расстояние от центра Земли до центра Луны	3,84·108 м
Радиус Луны	1,74·106 м
Масса Луны	7,33·1022 кг

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА 1 КУРСА ФЗО

Введение

Предмет физики, его философская трактовка. Методы физики. Краткие исторические сведения. Классическая и современная физика. Роль курса физики в системе подготовки инженеров гидрометеорологических специальностей. План изучения курса.

Физические основы механики

Релятивистская кинематика

Основные понятия кинематики: скорость, ускорение в случаях материальной точки и вращающегося твердого тела.

Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности классической физики. Преобразования Галилея.

Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца. Релятивистское преобразование времени. Парадокс часов. Мезонный парадокс. Релятивистская трактовка одновременности. Релятивистское преобразование продольных размеров. Релятивистское преобразование скорости. Его приложение к анализу скорости удаления или сближения тел. Релятивистский интервал, его инвариантность. Времениподобный интервал. Пространственноподобный интервал. Знак интервала, причинно-следственная связь между событиями.

Динамика

Понятие массы покоя, релятивистской массы, релятивистского импульса. Основной закон динамики в релятивистской форме как обобщение результатов опыта. Уравнение движения в релятивистской форме, уравнение движения для тела переменной массы (уравнение Мещерского).

Уравнения движения для системы материальных точек. Уравнение движения центра массы системы. Закон сохранения импульса системы.

Понятие момента импульса материальной точки. Законы изменения и сохранения момента импульса точки. Понятие момента импульса твердого тела, вращающегося вокруг оси. Моменты инерции тел, теорема Штейнера. Выражение момента импульса вращающегося тела через угловую скорость и момент инерции. Закон изменения момента импульса вращающегося тела. Закон сохранения момента импульса вращающегося тела.

Понятие релятивистской полной энергии, энергии покоя, кинетической энергии. Выражения кинетической энергии для релятивистских и малых скоростей. Связь между полной энергией, энергией покоя и импульсом тела. Связь между изменением кинетической энергии и работой силы. Потенциальная энергия, ее связь с силой. Понятие внутренней энергии. Закон сохранения энергии в релятивистской форме.

Законы сохранения в механике – как отражение симметрии пространства и времени.

Движение в неинерциальных системах отсчета

Общий принцип введения сил инерции в неинерциальные системы отсчета. Силы инерции в системах, движущихся прямолинейно.

Вращающиеся системы отсчета. Центробежная сила инерции. Кориолисова сила инерции. Силы инерции в системе отсчета, связанной с горизонтальной поверхностью Земли. Силы, действующие на частицу воздуха в атмосфере и на частицу воды в океане.

Молекулярная физика и термодинамика

Молекулярно-кинетическая теория идеального газа

Сила и потенциальная энергия взаимодействия молекул. Модель идеального газа. Молекулярно-кинетическая трактовка температуры и давления газа. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газа. Уравнение состояния идеального газа и смеси газов.

Распределение молекул в поле внешней силы. Распределение концентрации молекул, плотности и давления в поле силы тяжести при постоянной температуре газа.

Распределение молекул по модулю скорости (распределение Максвелла). Функция Максвелла. Зависимость распределения Максвелла от рода газа и температуры. Средняя арифметическая и средняя квадратичная скорости молекул. Распределение Максвелла-Больцмана.

Эффективное сечение процесса. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекулы. Понятие вакуума.

Процессы переноса в газах. Процесс теплопроводности, уравнение теплопроводности. Процесс диффузии, уравнение диффузии. Явление вязкости, уравнение вязкости. Вычисления коэффициентов теплопроводности, диффузии и вязкости газов, связь между коэффициентами.

Реальный газ, жидкость, твердое состояние

Модель газа Ван-дер-Ваальса. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы газа Ван-дер-Ваальса. Изотермы реального газа. Метастабильные состояния.

Молекулярно-кинетические свойства жидкости. Тепловое движение и структура, молекулярное давление поверхностного слоя.

Молекулярное строение твердых тел.

Молекулярно-кинетическая картина испарения. Зависимость упругости насыщения от температуры. Понятие о формуле Клаузиуса-Клапейрона. Зависимость упругости насыщения от кривизны испаряющей поверхности. Зависимость упругости насыщения от концентрации раствора. Понятие о температурах конденсации: точке росы, точке конденсации, температуре смоченного термометра.

Равновесие между твердой и газообразной, между твердой и жидкой фазами. Общая диаграмма фазового равновесия.

Физические основы термодинамики

Внутренняя энергия идеального газа, ее зависимость от температуры и числа степеней свободы молекул. Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса. Работа расширения, ее зависимость от термодинамического пути. Уравнение первого начала термодинамики. Теплоемкости газа при разных процессах.

Понятие энтальпии. Понятие энтропии.

Недостаточность первого начала термодинамики для адиабатически изолированной системы. Статистическая интерпретация второго начала. Связь между энтропией и термодинамической вероятностью состояния. Флуктуации. Критика теории тепловой смерти Вселенной.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Бармасов А.В., Холмогоров В.Е. Курс общей физики для природопользователей. Механика / Под ред. А.С. Чирцова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2008 и 2012. – 416 с.

2. Бармасов А.В., Холмогоров В.Е. Курс общей физики для природопользователей. Колебания и волны / Под ред. А.П. Бобровского. – СПб.: БХВ-Петербург, 2009 и 2012. – 256 с.

3. Бармасов А.В., Холмогоров В.Е. Курс общей физики для природопользователей. Молекулярная физика и термодинамика / Под ред. А.П. Бобровского. – СПб.: БХВ-Петербург, 2009 и 2012. – 512 с.

4. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989.

5. Савельев И.В. Курс физики. Т. 1-5. – М.: Наука, 2009.

6. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2005.

7. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – М.: Наука, 2005.

8. Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике. – М.: Высшая школа, 1981.

9. Физика. Методические указания и контрольные задания / Под ред. А.Г. Чертова. – М.: Высшая школа, 1983.

10. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. – М.: Высшая школа, 1977.

СОДЕРЖАНИЕ

	Стр.
Общие методические указания	3
Учебные материалы по разделам курса физики: физические основы механики	7
Таблица вариантов к контрольной работе 1	23
Примеры решения задач	24
Контрольная работа 1	32
Учебные материалы по разделам курса физики: молекулярная физика и термодинамика	45
Таблица вариантов к контрольной работе 2	54
Примеры решения задач	55
Контрольная работа 2	64
Приложения	74
Рабочая программа 1 курса ФЗО	77
Литература	81

 

 

Учебное издание

 

Методические указания и

контрольные работы № 1, 2

по дисциплине «Физика».

 

Разделы

«Физические основы механики»,

«Молекулярная физика. Термодинамика»

Составители:

Татьяна Юрьевна Яковлева и др.

 

 

Ответственный редактор

Андрей Васильевич Логинов

 

Редактор И.Г. Максимова

 

ЛР № 020309 от 30.12.96

 

________________________________________________________

Подписано в печать . .2014. Формат 60×90¹/₁₆. Печать офсетная

Печ.л. 5,1. Тираж     экз. Заказ №

________________________________________________________

---

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 105; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!