I способ нахождения наименьшего значения данной функции (рациональный)
Олимпиадные задания по дисциплине __МАТЕМАТИКА_
Инструкция по выполнению заданий.
Участник Олимпиады обязан соблюдать следующие требования к оформлению работы:
· титульный лист олимпиадной работы должен содержать фамилию, имя и отчество участника, написанные печатными буквами, наименование учебной дисциплины, наименование образовательной организации, наименование специальности, курс, группа;
· титульный лист не должен содержать ответов, решений;
· работа выполняется участником на бланке ответов;
· работа выполняется пастой синего или черного цвета аккуратным и разборчивым почерком на бланке ответов;
· работа не должна содержать пометок, знаков и другой информации, позволяющей идентифицировать участника Олимпиады. В этом случае олимпиадная работа объявляется дешифрованной и не проверяется членами жюри;
· ответы, записанные только на черновике и не внесенные в бланк ответов, не проверяются и не оцениваются членами жюри.
· Чертежи выполняются в работе карандашом и по линейке;
Текст заданий.
Решение каждой предложенной Вам задачи должно быть выполнено максимально полно, обоснованно с использованием теоретических знаний. Рядом с заданием проставлено максимальное количество баллов за верное выполнение. Максимальное количество баллов – 100.
Часть I.
№ 1. Найдите 20 % числа 
. Аргументируйте своё решение. Запишите полученный ответ. (10 баллов)
|
|
|
№ 2. Найти область значения функции 
. Аргументируйте решение. Запишите ответ. (10 баллов)
№ 3. Найдите значение выражения 
(10 баллов)
Часть II.
№ 4. В бочке находится 10 литров бензина. Как отлить из неё 6 литров с помощью пустых девятилитрового ведра и пятилитрового бидона? Возможно оформление решения задания в виде таблицы или словесного поэтапного описания. Во втором случае оформления, записывайте каждый этап с новой строчки. (10 баллов)
№ 5. Найти значение выражения:
. Аргументируйте своё решение. Запишите ответ. (15 баллов)
№ 6. Найдите все значения а, при которых функция 
принимает наименьшее значения. Аргументируйте своё решение. Запишите ответ. (20 баллов)
Часть III.
|
|
|
№ 7. Построить график функции 
. Аргументируйте своё решение. Запишите ответ. (25 баллов)
№ 1. Найдите 20 % числа . Аргументируйте своё решение. Запишите полученный ответ.
Решение: 1) Преобразуем выражение 
; Оценим полученные выражения:
Таким образом, выражение, стоящее под первым знаком модуля отрицательно, а под вторым – положительно. 
.
2) Найдём 20% от полученного числа: 
.
Ответ: 
.
| Распределение баллов | Критерии задания № 1 |
| 10 баллов | Полное и верное решение. |
| 8 – 9 баллов | Верное решение с недочётами, в целом не влияющее на решение. |
| 6 – 7 баллов | Решение в целом выполнено, верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки. Правильно применены: свойства арифметического корня, раскрыты модули, произведено вычисление. Не найдены проценты от полученного значения. Представлено доказательство вспомогательного утверждения, помогающего в решении задания. |
| 4 – 5 баллов | Найдена идея решения, но допущены ошибки на начальном этапе применения свойства арифметического корня, повлекшие за собой неправильный ответ. При допущенной ошибке дальнейшее решение выполнено верно и до конца. |
| 2 – 3 балла | Решение не верно, но прослеживается продвижение в верном направлении. |
| 1 балл | Решение не верно, но участник приступил к решению данного задания. |
| 0 баллов | Отсутствие решения |
| 0 баллов | Участник не приступил к решению. |
|
|
|
№ 2. Найти область значения функции . Аргументируйте решение. Запишите ответ.
Решение: Множество значений функции 
‘это отрезок 
, 
.
Параллельный перенос графика функции 
вдоль оси ОХ на 
влево не окажет влияния на множество значений функции, тогда 
. Выполним равносильные преобразования неравенства:
; 
; 
.
Ответ: 
.
| Распределение баллов | Критерии задания № 2 |
| 10 баллов | Полное и верное решение. |
| 8 – 9 баллов | Верное решение с недочётами, в целом не влияющее на решение. |
| 6 – 7 баллов | Решение в целом выполнено, верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки. Правильно применено: свойство ограниченности функции , соблюдён алгоритм решения двойного неравенства, использованы утверждения о равносильных преобразованиях неравенства, но не полно оценено выражение. Представлено доказательство вспомогательного утверждения, помогающего в решении задания.
|
| 4 – 5 баллов | Найдена идея решения, но допущены ошибки на начальном этапе оценки выражения  , или на начальном этапе оценки, повлекшие за собой неправильный ответ. При допущенной ошибке дальнейшее решение выполнено верно и до конца.
|
| 2 – 3 балла | Решение не верно, но прослеживается продвижение в верном направлении. |
| 1 балл | Решение не верно, но участник приступил к решению данного задания. |
| 0 баллов | Отсутствие решения |
| 0 баллов | Участник не приступил к решению. |
|
|
|
№ 3. Найдите значение выражения
Решение: 
.
| Распределение баллов | Критерии задания № 3 |
| 10 баллов | Полное и верное решение. |
| 8 – 9 баллов | Верное решение с недочётами, в целом не влияющее на решение. |
| 6 – 7 баллов | Решение в целом выполнено, верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки. Правильно использованы: определение, свойства логарифма, свойства корня n-й степени, допущена вычислительная ошибка. Представлено доказательство вспомогательного утверждения, помогающего в решении задания. |
| 4 – 5 баллов | Найдена идея решения, но допущены ошибки на начальном этапе при вычислении значения логарифма степени, повлекшие за собой неправильный ответ. При допущенной ошибке дальнейшее решение выполнено верно и до конца. |
| 2 – 3 балла | Решение не верно, но прослеживается продвижение в верном направлении. Использованы свойства корня n-й степени, найдены значения степени, помогающие в решении задания и т.п. |
| 1 балл | Решение не верно, но участник приступил к решению данного задания. |
| 0 баллов | Отсутствие решения |
| 0 баллов | Участник не приступил к решению. |
Часть II.
№ 4. В бочке находится 10 литров бензина. Как отлить из неё 6 литров с помощью пустых девятилитрового ведра и пятилитрового бидона? Возможно оформление решения задания в виде таблицы или словесного поэтапного описания. Во втором случае оформления, записывайте каждый этап с новой строчки.
Решение:
| Бочка (10 литров) | Ведро (9 литров) | Бидон (5 литров) |
| 10 | - | - |
| 1) 10 - 5 | - | +5 |
| 2) 5 - 5 | 5 | 5 |
| 0 | 5 | 5 |
| 3) 0 | 5 + 4 | - 4 |
| 0 | 9 | 1 |
| 4) + 1 | 9 | -1 |
| +1 | 9 | 0 |
| 5) 1 | -5 | + 5 |
| 1 | 4 | 5 |
| 6) 1+5 | 4 | -5 |
| Итог: 6 | 4 | 0 |
1) Выливаем из бочки в бидон 5 литров, в итоге в бочке осталось 5 литров.
2) Выливаем из бочки оставшиеся 5 литров в ведро.
3) Из бидона выливаем в девятилитровое ведро 4 литра, в итоге в бидоне остаётся 1 литр, а в ведре становится 9 литров.
4) Выливаем из бидона оставшийся 1 литр в бочку.
5) Выливаем из девятилитрового ведра в бидон 5 литров. В итоге в ведре остаётся 4 литра.
6) Выливаем из бидона в бочку 5 литров. В итоге в бочке 6 литров.
| Распределение баллов | Критерии задания № 4 |
| Начисление баллов распределено за каждый новый этап решения задания | |
| 10 | Полное и верное решение. |
| 8 | Выполнено и описаны 5 этапов решения |
| 6 | Выполнено и описано 4 этапа решения |
| 5 | Выполнено и описано 3 этапа решения |
| 3 | Выполнено и описано 2 этапа решения |
| 2 | Выполнен и описан 1 этап решения |
| 1 | Решение не верно, но участник приступил к решению данного задания. |
| 0 | Отсутствие решения |
| 0 | Участник не приступил к решению. |
№ 5. Найти значение выражения:
. Аргументируйте своё решение. Запишите ответ.
Решение: Все величины углов, представленные в выражении кроме угла в 450 не являются табличными. Величины углов в 300 и 600 - чётные значения, не присутствуют в данном произведении. Проанализируем решение с учётом того, что 
.
. 
. Таким образом, один из сомножителей данного выражения равен 0, следовательно и всё произведение равно 0.
| Распределение баллов | Критерии задания № 5 |
| 15 баллов | Полное и верное решение. |
| 12 – 14 баллов | Верное решение с недочётами, в целом не влияющее на решение (запись решения, не полная аргументация решения, использовано понятие следствия). |
| 9 – 11 баллов | Решение в целом выполнено, верно, но неполно: отсутствует логические этапы в аргументации решения. Представлено доказательство вспомогательного утверждения, помогающего в решении задания. |
| 6 – 8 баллов | Найдена идея решения, но допущены ошибка в выборе значений косинуса в 300 и 600 вместо 450 , повлекшие за собой неправильный ответ. При допущенной ошибке дальнейшее решение выполнено верно, и до конца. |
| 3 – 5 балла | Решение не верно, но прослеживается продвижение в верном направлении. Найдены значения  , помогающие в решении задания.
|
| 2 балла | Решение не верно, но участник приступил к решению данного задания. |
| 0 баллов | Отсутствие решения |
| 0 баллов | Участник не приступил к решению. |
№ 6. Найдите все значения а, при которых функция принимает наименьшее значения.
Решение: 1) 
I способ нахождения наименьшего значения данной функции (рациональный)
2) Рассмотрим полученную функцию 
. Для удобства обозначим переменную а через х. Функция 
- квадратичная, график – парабола, «ветви» которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает свое наименьшее значение при 
, где 
- абсцисса вершины параболы. 
Ответ: При 
функция принимает наименьшее значение.
Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 90; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!