Построение параметрически заданных кривых.
Пример 7. Исследовать параметрически заданную кривую ,
и построить ее.
► Предварительное исследование и построение эскиза.
Найдем производные функции :
и функции
:
.
Рассмотрим промежутки монотонности функций и
:
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | убывает от ![]() ![]() | возрастает от ![]() ![]() |
![]() | возрастает от ![]() ![]() | убывает от ![]() ![]() |
![]() | возрастает от ![]() ![]() | убывает от ![]() ![]() |
![]() | убывает от ![]() ![]() | убывает от ![]() ![]() |
![]() | убывает от ![]() ![]() | возрастает от ![]() ![]() |
Если , то
,
; значит
— вертикальная асимптота, можно предположить, что кривая выпукла вверх (к асимптоте).
Точка при
является точкой минимума функции
и точкой минимума функции
.
Если , то
,
. Следовательно, исследуем наклонную асимптоту.
.
.
Асимптота при
, причем
. В достаточно малой левой полуокрестности точки
определим знак выражения:
.
Следовательно, кривая расположена выше асимптоты и, можно предположить, что выпукла вниз.
Аналогично, если , то
,
,
.
.
Асимптота при
, причем
. В достаточно малой правой полуокрестности точки
определим знак выражения:
. Следовательно, кривая расположена ниже асимптоты и, можно предположить, что выпукла вверх.
При функция
имеет максимум, а функция
убывает при
. Поэтому
— точка максимума функции
.
Если , то
,
. Следовательно,
— горизонтальная асимптота при
. Так как кривая расположена выше асимптоты, можно предположить, что она выпукла вниз (к асимптоте).
|
|
Если , то
,
. Следовательно,
— горизонтальная асимптота при
. Так как кривая расположена выше асимптоты, можно предположить, что она выпукла вниз (к асимптоте).
Если , то
,
. Значит
— вертикальная асимптота. Можно предположить, что кривая выпукла вниз (к асимптоте).
Строим эскиз кривой (рис. 14.1).
Учитывая, что поведение кривой исследовано в достаточно малых окрестностях рассмотренных точек, эскиз может не отразить всех характерных особенностей кривой.
Исследование кривой с помощью производных и построение кривой.
.
Приведем результаты анализа в виде таблицы
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | выводы |
![]() | ![]() | ![]() | вертикальная асимптота ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
![]() | | | | ![]() | точка возврата |
![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | асимптота | ||
![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | точка максимума
![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | асимптота | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | вертикальная асимптота ![]() |
Кривая изображена на рис. 14.2.
Пример 8. Исследовать и построить кривую ,
.
► Предварительное исследование и построение эскиза. Найдем производные функций и
:
|
|
;
.
Зная производные, заполним таблицу изменения значений функций и
в зависимости от
:
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Исследуем асимптоты кривой.
Если , то
,
соответственно. Значит прямая
является вертикальной асимптотой кривой.
Если , то
,
,
,
. Асимптота не существует.
Эскиз кривой изображен на рис. 15. 1.
Исследование кривой с помощью производных и построение кривой.
,
,
.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | выводы |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | минимум ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | точка перегиба |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | асимптоты нет
![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | асимптоты нет
![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | точка возврата
![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | вертикальная асимптота |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | вертикальная асимптота |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | минимум ![]() |
Кривая изображена на рис. 15.2.
Пример 9. Исследовать и построить кривую ,
.
► Предварительное исследование и построение эскиза.
Заметим, что неотрицательная функция. Следовательно, кривая лежит в верхней полуплоскости.
|
|
Найдем производные функций и
:
,
и рассмотрим промежутки монотонности функций
и
.
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Если , то
. Найдем асимптоту кривой:
,
. Прямая
является асимптотой кривой. Из таблицы видно, что кривая лежит выше асимптоты, следовательно, выпукла вниз (к асимптоте).
Если , то
,
. Найдем асимптоту кривой:
,
. Прямая
является асимптотой кривой. Из таблицы видно, что кривая лежит ниже асимптоты. Можно предположить, что кривая выпукла вверх (к асимптоте).
Если , то
,
, точка максимума функции
.
Если , то
,
. При
,
. Значит,
— вертикальная асимптота.
Если , то
,
,
— точка минимума функций
и
.
Строим эскиз (рис. 16.1).
Координаты точки самопересечения кривой указывать и исследовать не обязательно.
Исследование с помощью производных и построение графика.
,
,
.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | выводы | ||
![]() | ![]() | ![]() | горизонтальная асимптота | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | точка максимума функции | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | точка перегиба | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | вертикальная асимптота
| ||||
![]() | ![]() | ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | точка возврата | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | горизонтальная асимптота |
Кривая изображена на рис. 16.2.
Дата добавления: 2019-11-16; просмотров: 264; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!