Интегральный функции распределения. Вероятность случайной величины.
Рассмотрим случ.величину Х, возможные значения которой заполняют интервал (a;b). В данном случае нельзя указать все возможные значения х, поэтому для описания данного случ. величины используется интегральная функция распределения вероятностей. Обозначим через F(x)- вероятность соб., состоящего в том, что случ.велич. х меньшее х. х-действительное чилсо. Но вероятность соб. Х<x обозначим, как F(x) в том случае, если число х будет изменяться, то будет изменяться и F(x). Определение: интегральной функцией распределения называется функция F(x), которая определена для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение < x, т.е. F(x)=Р, когда Х<x. F(x)= P(X<x)
Случайная величина Х- является непрерывной в том случае, если её интегральная функция распределения F(x) непрерывно дифференцируема. Свойства интегрируемой функции распределения вероятности.1). Значение интегрируемой функции заключается в интервале (0;1), 0 ≤F(x) ≤1. Док-во: данное свойство основывается на определении интегральной функции, как вер-ти, а вер-ть-неотрицательное число, которое не превышает 1. 2). F(x)-неубывающая функция, F(x2) ≥ F(x1), если х2>х1. Следствие1: Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (a;b) равно прирощённо данной функции в этом интервале. P (a ≤ x ≤b) = F(b)-F(a). Следствие2: Вероятность того, что нсв Х примет одно определённое значение =0. 3). Если возможные значения случайной величины принадлежат (a;b), то F(x)=0,при x<a; F(x)=1, при x≥b. Следствие: если возможные значения интервальной случайной величины расположены на всей оси Ох, то справедливы предельные соотношения: limF(x)=0 и limF(x)=1.
|
|
|
Дифференциальная функция распределений вероятностей нвс.
Определение:Дифер. функцией распределения f(x) называется первая производная от интегральной функции распределения. f(x)=F’(x)=> интегральная функция является первообразной для диф-ой функции.
Диф-ая функция непременима для задания распределения вероятностей дискретной случайной величины, если известна f(x) нсв, то на её основе можно вычислить вероятность того, что нсв примет значение, принадлежащее заранее заданному интервалу. Теорема:Вероятность того, что нсв Х примет значение, принадлежащее (a;b) = опред.интегр. диф.функции, взятому в пределах от а до b.
P(a<x<b)= 
Теорема:Если известна диф.функция f(x), то интегральная функцию F(x) можно найти по формуле: 
Закон равномерного распределения вероятностей.
При решении задач, которые выдвигает практика, сталкиваются с различными распределениями нсв. Диф.функция этих распределений называется также законами распределения. Определение: Распределение вер-тей нсв называют равномерным, если на интервале, котором все возможные значения случайной величины, дифферен.функция имеет постоянное значение.
|
|
|
Закон распределения нсв можно определить заданием, либо интегрир. F(x) нсв, либо диффер.функции f(x). Для равномерного распределения интегральной функции F(x) непрерывной случайной величины имеет вид и график:
0, при х≤0
F(x)= 
= x-a/b-a, а≤x≤b
Определим диф.функцию равномерного распределения при условии, что все возможные значения случайной величины находятся в интервале (a;b), на котором диф.функция сохраняет постоянное значение. f’(x)=c, т.е.
f(x)= C, при a<x<b
0, при x≤a, x≥b
По свойству (2) функция f(x) есть не собственные интеграл
Таким образом c=1/b-a. График диф.функции f(x) нсв равномерного распределения выглядит так:
Дата добавления: 2020-01-07; просмотров: 301; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!