Применение производной при исследовании функций

Максимум и минимум функции

Определение. Функция в точке имеет максимум, если значение функции в точке больше, чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку

Определение. Функция в точке имеет минимум, если значение функции в точке меньше, чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку

Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только для значений аргумента х, принадлежащих данному отрезку.

Максимум и минимум функции называется экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если функция имеет в точке экстремум, то ее производная в данной точке либо обращается в нуль, либо не существует.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, быть может, самой точки . Если при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то в точке функция имеет максимум. Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то функция в точке имеет минимум.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция имеет первую производную, обращающуюся в нуль в данной точке : . Пусть также существует, непрерывна и отлична от нуля в некоторой окрестности и самой точке вторая производная Тогда в точке функция имеет максимум, если и минимум, если

Значения аргумента функции , при которых производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

Алгоритм нахождения наибольшего
и наименьшего значения функции на отрезке

1. Определяем критические точки, принадлежащие данному отрезку.

2. Вычисляем значения функции в полученных критических точках.

3. Вычисляем значения функции на концах рассматриваемого отрезка.

4. Из полученных выше значений функции выбираем наибольшее и наименьшее значения.

Пример. Для функции определить наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

Решение. Определяем критические точки данной функции. Для этого находим первую производную и приравниваем ее к нулю:

Оба этих значения принадлежат отрезку . Находим вторую производную: Так как , то в точке функция имеет минимум, Так как , то в точке функция имеет максимум, Вычисляем значения функции на концах данного отрезка: Таким образом, наибольшее значение данной функции на отрезке есть а наименьшее

Направление выпуклости. Точки перегиба

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале если дуга кривой на этом промежутке расположена выше касательной, проведенной к графику функции в любой точке . Если же на интервале всякая касательная располагается выше дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым вверх. На рис. 1 график функции является выпуклым вниз на интервале и выпуклым вверх на интервале .

Если функция дважды дифференцируема на и ( ), то ее график является выпуклым вниз (вверх) на этом интервале. В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точками, в которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует. Точка в которой направление выпуклости графика функции меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

Рис. 1.

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция дважды дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку , в которой или не существует. Если при переходе через эту точку вторая производная меняет знак, то – точка перегиба.

Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

Решение. Найдем первую и вторую производные данной функции:

При и – на этих участках график функции выпуклый вниз. При – на этом участке график функции выпуклый вверх. Точки – точки перегиба.

Асимптоты

Определение. Пусть для функции существует такая прямая, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки М от начала координат. Тогда такая прямая называется асимптотой графика функции.

Определение. Если при этом координата х точки М стремятся к конечному числу а, то прямая является вертикальной асимптотой.

Для существования вертикальной асимптоты в точке необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из пределов был равен бесконечности. Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот.

Если же координата х точки М стремится к или , то мы имеем наклонную асимптоту , для существования которой необходимо и достаточно существование двух пределов

При этом указанные пределы могут быть различными при (для правой наклонной асимптоты) и при (для левой наклонной асимптоты).

Если (т.е. фактически ), то мы имеем дело с частным случаем наклонной асимптоты – горизонтальной асимптотой

Пример. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет единственную точку разрыва

– вертикальная асимптота.

Далее,

– наклонная асимптота.

Построение графиков функции

Построение графика функции производится по следующей схеме.

1. Находится область определения функции

2. Определяются характерные особенности функции (четность, нечетность, периодичность, точки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства).

3. Изучается поведение функции в точках разрыва и на границах области определения (в том числе и на бесконечности). Находятся вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

4. С помощью первой производной находятся точки экстремума и промежутки монотонности.

5. С помощью второй производной находятся точки перегиба и промежутки выпуклости.

6. Строится график функции, который удовлетворяет всем ранее полученным данным. Для более точного построения графика рекомендуется найти несколько контрольных точек.

Пример. Провести полное исследование функции и построить ее график.