Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Закон Кирхгофа

  Закон Кирхгофа: отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры:

 = r_v,T                                                                (6)

Для черного тела А^ч_v,T =1, поэтому из закона Кирхгофа вытекает, что R_v,T  для черного тела равна r_v,T. Таким образом, универсальная функция Кирхгофа r_v,T есть не что иное, как спектральная плотность энергетической светимости черного тела. Следовательно, согласно закону Кирхгофа, для всех тел отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности равно спектральной плотности энергетической светимости черного тела при той же температуре и частоте.

    Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимости любого тела в любой области спектра всегда меньше спектральной плотности энергетической светимости черного тела (при тех же значеннях Т и v), так как А_v,T < 1, и поэтому R_v,T < r v_υ,T.  Кроме того, из (31.6) вытекает, что если тело при данной температуре Т не поглощает электромагнитные волны в интервале частот от v, до v+dv, то оно их в этом интервале частот при температуре Т и не излучает, так как при А_v,T=0, R_v,T=0

 Используя закон Кирхгофа, выражение для интегральной энергетической светимости черного тела (31.4) можно записать в виде

R_T= .                              (7)

Для серого тела                R^с_T = А_T  = А_TR_е,                        (8)

где R_е =  -энергетическая светимость черного тела.

Закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение, являясь настолько характерным для него, что может служить надежным критерием для определения природы излучения. Излучение, которое закону Кирхгофа не подчиняется, не является тепловым.

Для практических целей из закона Кирхгофа следует, что тела, обладающие темной и шероховатой поверхностью, имеют коэффициент поглощения, близкий к 1. По этой причине зимой предпочитают носить темную одежду, а летом – светлую. Но тела, имеющие коэффициент поглощения, близкий к единице, обладают и соответственно большей энергетической светимостью. Если взять два одинаковых сосуда, один с темной, шероховатой поверхностью, а стенки другого будут светлыми и блестящими, и налить в них одинаковое количество кипящей воды, то быстрее остынет первый сосуд.

 

3. Законы Стефана — Больцмана и смещения Вина

Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимости черного тела является универсальной функцией, поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры является важной задачей теории теплового излучения.

 Стефан, анализируя экспериментальные данные, и Больцман, применяя термодинамический метод, решили эту задачу лишь частично, установив зависимость энергетической светимости R_е от температуры. Согласно закону Стефана — Больцмана,

R_е = σ Т⁴,                                       (9)

т. е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертей степени его термодинамической температуры; σ — постоянная Стефана — Больцмана: ее экспериментальное значение равно 5,67×10^-8 Вт/(м²×К⁴).

    Закон Стефана — Больцмана, определяя зависимость R_е  от температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного тела. Из экспериментальных кривых зависимости функции  r_{λ ,T} от длины волны λ (r_{λ ,T} = ´ ´ r_{ν ,T}) при различных температурах (рис.30.2)                Рис.31.2.

следует, что распределение энергии в спектре черного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой зависимости r_{λ ,T} от λ и осью абсцисс, пропорциональна энергетической светимости R_е черного тела и, следовательно, по закону Стефана — Больцмана, четвертей степени температуры.

       В. Вин, опираясь на законы термо- и электродинамики, установил зависимость длины волны λ_max, соответствующей максимуму функции r_{λ ,T} , от температуры Т. Согласно закону смещения Вина,

 λ _max = b /Т,                                (10)

т. е. длина волны λ_max соответствующая максимальному значению спектральной
плотности энергетической светимости r_{λ ,T} черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре. b — постоянная Вина ее экспериментальное значение равно 2,9×10^{-3 м}×К.

Выражение (10) называют законом смещения Вина, оно показывает смещение положения максимума функции r_{λ ,T} по мере возрастания температуры в область коротких длин волн. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение (например, переход белого каления в красное при остывании металла).

Формулы Рэлея-Джинса и Планка

     Из рассмотрения законов Стефана-Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа не дал желаемых результатов.

    Строгая попытка теоретического вывода зависимости r_{λ ,T}  принадлежит Рэлею и Джинсу, которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовшим классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея-Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид:

r_{ν , T}  = <Е> = kT,                            (11)

где <Е> = kT – средняя энергия осциллятора с собственной частотой ν.

Как показал опыт выражение (11) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот эта формула расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина. И получить закон Стефана–Больцмана из этой формулы приводит к абсурду. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы». Т.е. в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

    В области больших частот хорошее согласие с опытом дает формула Вина (закон излучения Вина):

r _{ν , T}  =Сν³ А е ^–Аν/Т,                                        (12)

где r _{ν , T}  - спектральная плотность энергетической светимости черного тела, С и А – постоянные величины. В современных обозначениях с использованием

постоянной Планка закон излучения Вина может быть записан в виде

r _{ν , T}  = .                          (13)

    Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено Планком. Согласно выдвинутой квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями – квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебаний

Е₀ =hν = hс/λ,

где h=6,625×10^-34Дж×с – постоянная Планка.Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора Е может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии Е₀

Е = nh ν                            (n = 0,1,2…).

В данном случае среднюю энергию <Е> осциллятора нельзя принимать равной kT.

В приближении, что распределение осцилляторов по возможным дискретным состояниям подчиняется распределению Больцмана, средняя энергия осциллятора равна

<Е> = ,                                 (14)

а спектральная плотность энергетической светимости определяется по формуле

r_{ν , T}  = .                          (15)

Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

r _{ν , T}  = ,                           (16)

которая согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур.

    Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные Стефана-Больцмана σ и Вина b. И наоборот. Формула Планка хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, т.е. является полным решением задачи теплового излучения.

 

5. Корлускулярно-волновой дуализм свойств вещества

     Луи де Бройль, развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой природе света, гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.

    Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики — энергия Е и импульс р, а с другой — волновые характеристики — частота v и длина волны λ. Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:

 Е _ф =hν, р= .                           (17)

Cоотношение (17) постулировалось не только для фотонов, но и для других микрочастиц, в частности для таких, которые обладают массой покоя. Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

λ = .                                       (18)

Это соотношение справедливо для любой частицы с импульсом р.                

   Вскоре гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1927 г. К. Дэвидсон и Л. Джермер, которые обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки — кристалла никеля, — дает отчетливую дифракционную картину. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа — Брэгга, а брэгговская длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычисленной по формуле (18).

  Впоследствии дифракционные явления обнаружили также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Открытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению и развитию новых методов исследования структуры вещества, таких, как электронография и нейтронография, а также к возникновению новой отрасли науки — электронной оптики.

   На частицы вещества переносится связь между полной энергией частицы Е частотой v волны де Бройля:

Е = hν.                                     (19)

   Это свидетельствует о том, что соотношение между энергией и частотой в формуле (19) имеет характер универсального соотношения, справедливого как для фотонов так и для любых других микрочастиц.

  Т.о. всем микрообъектам присущи и корпускулярные, и волновые свойства; в то же время любую из микрочастиц нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга

   Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

   В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Микрочастицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличаются от классических частиц. Одно из основных различий заключается в том, что нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории и неправомерно говорить об одновременных точных значениях ее координаты и импульса. Так, понятие «длина волны в данной точке» лишено физического смысла, а поскольку импульс выражается через длину волны, то отсюда следует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. И наоборот, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс является полностью неопределенным.

В. Гейзенберг пришел к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом.

  Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (р_х, р_у, р_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям

ΔхΔр_х ≥h,  ΔуΔр_у ≥h,ΔzΔр_z ≥h,                

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Из соотношения неопределенностей (7.4) следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (Δх=0), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается совершенно неопределенной (Δр_х →∞), и наоборот.

   Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т. е. неопределенности этих величин удовлетворяют условию

ΔЕΔ t ≥h,                                  

гдеΔЕ — неопределенность энергии некоторого состояния системы. Δt - промежуток времени, в течение которого оно существует.

Следовательно, система, имеющая среднее время жизни Δt, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии ΔЕ=h/Δtвозрастает с уменьшением среднего времени жизни.

   

 

---

Дата добавления: 2019-11-25; просмотров: 240; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!