Функциональный метод для решения минимаксных задач.

Задание 18. Задачи с параметром.

Тип задания		Уравнение, неравенство или система уравнений или неравенств с параметром. Требуется уверенное владение материалов, применение нескольких свойств и теорем
Характеристика задания		Задача c параметром, требующая уверенного владения материалом и.применения нескольких свойств и теорем
Описание	Это задание, как и следующее за ним, является одним из самых сложных заданий ЕГЭ. Если Вы претендуете на высокий балл, то Вам необходимо решить это задание или хотя бы продвинуться в его решении достаточно далеко. Для успешного решения необходимо свободно оперировать изученными определениями, свойствами, теоремами, уметь применять их в различных ситуациях, анализировать условие и находить пути решения. Особенное внимание следует уделить таким задачам с параметрами, решение которых основывается на таких свойствах функций как ограниченность, монотонность, четность и нечетность. Требует умения находить область определения, множество значений и строить графики основных элементарных функций.

Критерии проверки задания №18

Как правило критерии проверки пишутся под определенную задачу. Они могут быть такими:

Пример задания: Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система имеет единственное решение.

Методы решения задач с параметрами:

1. Алгебраические методы.

2. Функциональные методы.

3. Функционально-графические методы.

4. Геометрические методы (графические).

5. Комбинированные методы.

Очень полезными могут быть следующие видео:

https://www.youtube.com/watch?v=ixXhS9UzyaU

https://www.youtube.com/watch?v=hn0oNcX2qUg

Алгебраические методы.

Как правило, к алгебраическим методам относят методы решения уравнений, неравенств и систем с параметром при всех допустимых значениях параметра, основанные на алгебраических преобразованиях (равносильные переходы, замены, использование необходимых и достаточных условий) и применении формул и приемов для решения простейших уравнений (линейных, дробно-рациональных, квадратичных, показательных, логарифмических, тригонометрических).

В частности, для решения задач с квадратным трехчленом и для задач, сводящихся к таковым, необходимо знание следующих теорем:

Примеры задач, сводящихся к исследованию квадратного трехчлена.

Пример 1. (тренировочный вариант ЕГЭ-2018)

Решение:

Пример 2. (ЕГЭ-2017).

Решение:

Функциональные методы.

Функциональный метод решения уравнений и неравенств (в том числе и с параметрами) является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике.

Рассмотрение функционального метода в программе средней школы на базовом уровне носит эпизодический характер. Наиболее часто используются следующие свойства функций:

· свойства ограниченности области определения или области значения функции (в частности, методы оценки и минимакса);

· свойства четности и нечетности входящих в уравнение или неравенство функций;

· кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций входящих в уравнение или неравенство (в частности, на этом основан метод рационализации);

· периодичность функций и др..

В отличие от графического метода, знание этих свойств функций позволяет находить точные корни уравнения без построения графиков функций.

Классификация задач, решаемых функциональными методами.

Функциональный метод для решения минимаксных задач.

Идея метода минимаксов (метода оценки).

Иначе говоря, уравнение можно переписать в виде:

min f(x) = max g(x), то есть нужно найти такие значения x, чтобы они одновременно являлись точками минимума для функции f(x) и точками максимума для функции g(x) .

Поэтому подобные уравнения называют «минимаксными задачами».

Наиболее часто этот метод можно применить в случаях, когда функции, стоящие в левой и правой частях уравнения – разного типа (степенная и логарифмическая, степенная и тригонометрическая и т.д.)

Пример использования метода оценки для решения уравнения: