ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ
Тема: «Прямые и плоскости в пространстве»
ВВЕДЕНИЕ
Первое, дошедшее до нас, научное изложение геометрии содержится в труде «Начала», составленном древнегреческим ученым Евклидом, жившим в III веке до нашей эры в городе Александрии. Именно Евклидом была сделана первая попытка дать аксиоматическое изложение геометрии. Впервые научная система аксиом Евклида была сформулирована Д. Гильбертом (1862-1943) в конце CIC века.
Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.
Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять.
Представление о геометрических телах, изучаемых в стереометрии, дают окружающие нас предметы. В отличие от реальных предметов геометрические тела являются воображаемыми объектами. Изучая свойства геометрических тел, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.
Схема построения геометрии
Перечисляются основные неопределяемые понятия.
|
|
|
Формулируются свойства основных понятий - аксиомы.
Определяются другие геометрические понятия.
Формулируются и доказываются свойства геометрических понятий - теоремы.
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние.
Определение: Аксиомой называется предложение, не требующее доказательства.
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, известных нам по курсу планиметрии, и аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
I. Аксиомы принадлежности
I1. Существуют хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.
Обозначение:
А, В, С, D – точки;
а, b, с – прямые;
a , b , g – плоскости;
А Î а – точка А принадлежит прямой а, прямая а проходит через точку А;
Е Ï а – точка Е не принадлежит прямой а;
С Î a – точка С принадлежит плоскости a , плоскость a проходит через точку С;
|
|
|
Е Ï a – точка Е не принадлежит плоскости a .
Вывод: Существуют точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие прямой, существуют точки, принадлежащие плоскости и не принадлежащие плоскости.
I2. Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.
 |
Обозначение: а = АВ
Вывод: Прямые, имеющие две различные общие точки, совпадают.
I3. Прямая, проходящая через две любые точки плоскости, лежит в этой плоскости.
 |
Обозначение:
а Ì a – плоскость a проходит через прямую а;
b Ë a – плоскость a не проходит через прямую b.
I4. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.
Обозначение: a = АВС
Вывод: Плоскости, имеющие три различные общие точки, совпадают.
I5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая.
Обозначение: М Î a , М Î b , a ¹ b , a ì ü b = l.
II. Аксиомы расстояния
II1. Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В. Расстояние АВ равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.
 |
Обозначение: АВ ³ 0.
II2. Расстояние от А до В равно расстоянию от В до А.
Обозначение: АВ = ВА.
|
|
|
II3. Для любых трех точек А, В, С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С.
Обозначение: АС £ АВ + ВС .
III. Аксиомы порядка
III1. Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от точки О точек прямой р на два непустых множества так, что для любых двух точек А и В, принадлежащим разным множествам, точка О лежит между точками А и В; если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой и точкой О.
III2. Для любого расстояния а на заданном луче с началом О существует одна и только одна точка А, расстояние от которой до точки О равно а.
III3. Если точка С лежит между точками А и В, то точки А, В, С принадлежат одной прямой.
III4. Любая прямая р, лежащая в плоскости a, разбивает множество не принадлежащих ей точек этой плоскости на два непустых множества так, что любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р; любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены прямой р.
IV. Аксиома подвижности плоскости
Если точки А, В, А1, В1 лежат в плоскости a, причем АВ > 0 и АВ = А1В1, то существует два и только два перемещения этой плоскости, каждое из которых отображает точку А на точку А1 а точку В на точку В1.
|
|
|
V. Аксиома параллельных
Через точку А проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой р.
СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Следствие 1: Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость.
 |
Дано: М, а, М Ï а
Доказать:
1. 
;
2. 
.
Следствие 2: Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость.
 |
Дано: а, b, а ´ b
Доказать:
1. 
;
2. .
Определение: Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или совпадают.
Следствие 3: Через две параллельные прямые можно провести одну и только одну плоскость.
Дано: а, b, 
Доказать:
1. ;
2. .
Упражнения:
1. Прочитать запись и сделать схематический рисунок:
a) 
;
b) 
;
c) 
;
d) 
.
2. По рисунку назвать:
a) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, ЕС;
b) точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ;
c) точки, лежащие в плоскостях АDВ и DВС;
d) 
прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DСВ, АВD и СDА, РDС и АВС.
3. По рисунку назвать:
a) точки, лежащие в плоскостях DСС1 и ВQС;
b) плоскости, в которых лежит прямая АА1;
c) точки пересечения прямой МК с плоскостью АВD, прямых DК и ВР с плоскостью А1В1С1;
d) прямые, по которым пересекаются плоскости АА1В1 и АСD, РВ1С1 и АВС;
e) точки пересечения прямых МК и DС, В1С1 и ВР, С1М и DС.
3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ
Если две прямые пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. Однако в пространстве две прямые могут быть расположены так, что они не лежат в одной плоскости, то есть не существует такой плоскости, которая проходит через обе эти прямые. Ясно, что такие прямые не пересекаются и не параллельны.
В пространстве рассматриваются три случая возможного расположения двух прямых.
Две прямые в пространстве могут:
1. Лежать в одной плоскости и иметь общую точку;
2. Лежать в одной плоскости и не иметь общих точек;
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 403; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!