Сравнительный анализ двух решений одной задачи.
Задача:
У четырехугольника диагонали равны a и b . Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
B L
C
b
F M
a
D
N
A
I решение (по школьной программе)
1) Т.к. AF =FB и AN =ND, FN – средняя линия ∆ABD 
2) Т.к. BL=LC и DM =MC, LM – средняя линия ∆CBD 
3) Т.к. AF =FB и BL=LC, FL – средняя линия ∆ABC 
4) Т.к. DM =MC и AN =ND, MN – средняя линия ∆ADC 
5) PFNML = FN + LM + FL +MN = 
II решение (с помощью параллелограмма Вариньона)
1) По теореме Вариньона FNML – параллелограмм.
2)FN= 
, FL= 
3)PFNML= (FN + FL) ∙ 2 = 
Ответ: a + b.
Видим, что параллелограмм Вариньона помогает решать задачи значительно быстрее.
11
Разбор задач.
Задача №1.
а) Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
A N B
 |
M K
|
|
|
C L D
1)Т.к. ABCD – прямоугольник, тоAD=CD MNKL – ромб (по следствию 1.1а)
б) Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
B
K L
A C
M N
D
1)Т.к.AC 
BD(по свойству ромба) MKLN–прямоугольник (по следствию 1.2а)
Задача №2.
При последовательном соединении середин сторон трапеции получился квадрат со стороной а.
Найдите площадь трапеции.
B L C
 | |||
| |
K M
A N D 12
Решение
1) KLMN – параллелограмм Вариньона 
2) 
Ответ: 
Задача №3.
|
|
|
Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза
больше суммы квадратов его средних линий.
L C
B
K M
A
N D
1)Т.к. KLMN – параллелограмм 
(по свойству параллелограмма).
2) KL= 
AC и LM= BD (по свойству средней линии треугольника) 
KM2+LN2= 
AC2+BD2=2(KM2+LN2).
Задача №4.
Докажите, что бимедианы четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.
M B
A
O N
L
D C
K
1) По теореме Вариньона LMNK – параллелограмм MK∩LN = т.O пополам (по свойству параллелограмма)
|
|
|
13
Задача №5.
Все стороны выпуклого четырехугольника разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток».
Решение.
Из следствия 2 следует, что точки пересечения отрезков на этой доске делят каждый на равные части. Тогда в любом «маленьком» четырехугольнике, куда входят ровно две белые и две черные клетки, выполняются условия теоремы о бабочках. Нужное равенство установлено.
Задача №6.
Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.
Доказательство: действительно, для всех таких четырёхугольников определён один и тот же параллелограмм Вариньона. Его площадь равна половине площади каждого из исходных четырёхугольников, тем самым их равновеликость доказана.
|
|
|
Задача №7.
Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырёхугольника ABCD.
1) 
2) 
(т.к. 
как соответственные и 
как соответственные), KL= 
, 
14
Задача №8.
Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними, т.е. 
 |
1) ∆KLN = 
KLMN 
( 
)
2) KL= 
Задача №9
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD,перпендикулярны. Известно, что 
.
Найдите площадь четырехугольника ABCD и сравните её с числом 
.
B
L
A
K M
D
N
C
Решение.
1) По теореме о средней линии треугольника KN= 
2) 
( 
и 
, т.к. соответственные углы при ║ прямых) 
3) 
15
4) 
(по свойству параллелограмма Вариньона)
Ответ: 
; 
.
Задача №10.
Вершины четырехугольника являются серединами сторон ромба со стороной, равной 4, и углом 
. Определите вид четырехугольника и найдите его площадь.
B
K L
A C
N M
D
Решение.
1)ABCD – ромб 
KLMN – прямоугольник (по следствию 1.2.а)
2) 
∙ 
3) 
∙ 
Ответ: прямоугольник с площадью 
16
Заключение
В процессе исследования я узнал о Пьере Вариньоне, его достижениях, рассмотрел доказательство его теоремы выпуклых четырёхугольников; продемонстрировал применение теоремы; убедился в том, что параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности, узнал много нового и интересного о свойствах геометрических фигур. Таким образом, можно считать, что цель работы достигнута.
Данное исследование поможет мне при решении конкурсных и олимпиадных задач. Работа перспективна, т.к. геометрия не остановилась в своём развитии, а играет всё большую роль в познании мира. В дальнейшем я планирую поработать над утверждениями, обратными теореме Вариньона для различных видов четырёхугольников, в том числе для невыпуклых.
17
Список литературы
1. Атанасян Л.С. Геометрия, 7-9: учебник. – М.: Просвещение, 2002.
2. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика.
2006 - №22. 3.
3. Кокстер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией.
– М.: Наука,1978.
4. Куланин Е.Д. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 1997.
5. Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука,1995.
6. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк.- М.:
Просвещение,1990.- 384 с.
7. Штейнгауз Г.Математический калейдоскоп. – М.:наука,1981.
18
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 207; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!