Тема: «Решение задач по комбинаторике»

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Министерство образования и науки Луганской Народной Республики

Индустриальный техникум ДонГТУ

Методические указания

Для выполнения практических работ

по дисциплине «Теория вероятностей и

Математическая статистика»

для студентов ІІІ курса дневной формы обучения

по специальности

09.02.03 «Программирование в компьютерных системах»

Алчевск

2016

Разработала	_____________	Л.Л. Кузьмина – преподаватель высшей категории, старший преподаватель
Рецензент	_____________	Л.С. Филоненко – преподаватель высшей категории

Утверждено на заседании Методического совета

__________Л.Л. Кузьмина председатель Методического совета ИТ ДонГТУ

Рассмотрено и одобрено на

заседании цикловой комиссии

«Информатики и компьютерной техники»

Протокол от «___» ________ 2016 г. № __

Председатель комиссии

_____________О.Ю. Ленкова

Содержание

Введение.	4
Практическая работа № 1. Решение задач по комбинаторике.	6
Практическая работа №2. Теорема сложения вероятностей.	13
Практическая работа №3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.	20
Практическая работа №4. Формулы полной вероятности и Бейеса.	27
Практическая работа №5. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.	36
Практическая работа №6. Построение закона распределения вероятностей дискретных случайных величин.	43
Практическая работа №7. Определение функции и плотности распредления вероятностей непрерывной случайной величины.	51
Практическая работа №8. Нормальное распределение. Вычисление вероятностей заданного отклонения.	61
Практическая работа №9. Расчет сводных характеристик выборки.	71
Практическая работа №12. Вычисление параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии.	76
Приложения	87
Литература	91

Введение

Предложенные методические указания для практических работ отвечают образовательно-профессиональной программе подготовки младших специалистов первого и второго уровней аккредитации по специальности 5. 05010301 «Разработка программного обеспечения».

Основная цель курса «Теория вероятностей и математическая статистик»: формировать знания, умения и навыки, необходимые для изучения закономерностей массовых однородных случайных событий.

Теория вероятности имеет непосредственный выход на прикладные задачи: определение надежности систем, анализе технологических процессов, проверка достоверности информации, планировании и организации производства и другое.

Материал данной дисциплины базируется на знании общеобразовательного курса математики и некоторых разделов основ высшей математики.

Практические работы носят расчетный характер, выполняются с целью закрепления теоретического материала, получить необходимые практические навыки при выполнении различных задач.

В процессе выполнения практических работ студент должен уметь:

ü применять теоретический материал для решения практических и прикладных задач;

ü применять методы комбинаторики для нахождения вероятностей событий и решения задач теории вероятностей;

ü использовать аппарат случайных величин и находить их числовые характеристики;

ü оценивать неизвестные параметры распределения по статистическим данным;

ü вычислять выборочные характеристики;

ü вычислять выборочные коэффициенты корреляций и находить выборочные уравнения прямой линии регрессии.

В данном пособии приведены краткие теоретические сведения, необходимые для выполнения конктретной практической работы, а также в приложениях даны справочные таблицы, которые используются при решении предложенных в пособии задач.

Правила выполнения и оформления практической работы:

ü студент должен выполнить практическую работу согласно своего варианта;

ü практическую работу следует выполнять по принятым стандартам в отдельной тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний преподавателя;

ü решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач;

ü перед решением каждой задачи надо выписать полностью условие;

ü решения задач излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия, что приравнивается к защите практической работы;

ü практическая работа, выполненная не по своему варианту, не засчитывается;

ü после получения проверенной работы студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты.

Практическая работа № 1

Тема: «Решение задач по комбинаторике»

Цель: научиться решать задачи по комбинаторике. Формировать приемы правильного оформления работы, рациональной записи решения. Обращать внимание на грамотность использования комбинаторных формул, правильный анализ условия задачи. Развивать продуктивное мышление и навыки самоконтроля.

Ход работы

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Р_п = п!

Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Искомое число трехзначных чисел

Р₈ = 3!= 1.2-3 = 6.

Размещениями называют комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Пример 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение. Искомое число сигналов

Сочетаниями называют комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение. Искомое число способов

Число упорядоченных выборок с возвращением из п по к

п^к

Число упорядоченных выборок без возвращения из п по к

, при п = к – п!

Число неупорядоченных выборок без возвращения из п по к

Число неупорядоченных выборок с возвращением из п по к

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов т способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А, либо В можно т + п способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов т способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана тп способами.

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

1. В урне 10 белых и 15 черных шаров. Из урны вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что два шара будут белыми и 1 черный.

2. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

3. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

Вариант № 2

1. В урне 8 белых и 19 черных шаров. Из урны вынимаются 4 шара. Найти вероятность того, что два шара будут белыми и два черными.

2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.

3. Сколькими способами можно выбрать согласную и гласную из слова «здание»? из слова «паркет»?

Вариант № 3

1. В урне 8 белых и 19 черных шаров. Из урны вынимаются 4 шара. Найти вероятность того, что два шара будут черными?

2. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5

3. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? Два белых квадрата?

Вариант № 4

1. Есть 10 тюльпанов и 25 нарциссов. Сколькими способами можно составить букет из 5 тюльпанов и 4 нарциссов?

2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными?

3. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной горизонтали?

Вариант № 5

1. Есть 19 тюльпанов и 40 нарциссов. Сколькими способами можно составить букет из 9 тюльпанов и 10 нарциссов?

2. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной вертикали?

3. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость оказалась дублем.

Вариант № 6

1. В урне 15 красных, 18 синих и 10 зеленых шаров. Из урны вынимаются 4 шара. Найти вероятность того, что два шара будут красными и два синими?

2. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначают двумя цветными фонарями. Какое количество разных маршрутов можно обозначить, ели использовать фонари восьми цветов?

3. Из 3 экземпляров учебника алгебры, 7 экземпляров учебника геометрии и 6 экземпляров учебника физики надо выбрать комплект, содержащий все три учебника по одному разу. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант № 7

1. В урне 15 красных, 18 синих и 10 зеленых шаров. Из урны вынимаются 4 шара. Найти вероятность того, что два шара будут зелеными, красный и синий?

2. Семь спортсменов разыгрывают 1 золотую, 1 серебряную и 1 бронзовую медали. Сколькими способами можно разыграть награды?

3. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин, после чего Надя выбирает из оставшихся фруктов яблоко, и апельсин. Сколько возможно таких выборов?

Вариант № 8

1. В урне 15 красных, 18 синих и 10 зеленых шаров. Из урны вынимаются 5 шаров. Найти вероятность того, что два шара будут красными, два синими и один зеленый?

2. В отделе работают 5 экономистов и 9 инженеров. Сколькими способами можно выбрать 2 экономиста и 3 инженера, если специалисты считаются равноценными?

3. Имеется набор из 16 карточек. На четырех из написана буква «А», на 4 – буква «Б», на 4 – буква «В». И на 4 – буква «Г». Сколько различных комбинаций букв можно получить, выбирая из набора 4 карточки и располагая их в некотором порядке?

Вариант № 9

1. В столовой есть 4 первых блюда, 5 вторых и 3 третьих. Сколькими способами можно выбрать обед из трех блюд так, чтобы было первое, второе и третье?

2. Чемпионат, в котором принимают участие 16 команд, проводится в два тура. Определить, какое количество встреч нужно провести?

3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани 5 различных цветов?

Вариант № 10

1. В компании есть вакансия экономиста, менеджера и дизайнера. Сколькими способами 6 стажеров могут быть распределены по этим вакансиям?

2. Расписание занятий одного дня состоит из 3 разных лекций. Сколькими способами можно составить расписание из 11 предметов?

3. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление трех различных видов деталей (по одному на каждого)?

Вариант № 11

1. Студенту необходимо сдать 4 разных экзамена на протяжении 6 дней. Сколькими способами это можно сделать, если каждый день можно сдавать только один экзамен?

2. Сколькими способами четырех гостей можно рассадить в четырех креслах?

3. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «математика»?

Вариант № 12

1. Для стажировки 25 студентам выделено 10 мест на 1-й фирме, 8 мест на 2-й фирме и 7 мест на 3-й фирме. Считая распределение равновозможными, определить, сколькими способами можно распределить студентов по фирмах так, чтобы 3 определенных студента попали на одну фирму?

2. Сколько нужно взять элементов, чтобы число всех перестановок из этих элементов не превышало 100?

3. На стеллаже в библиотеке в случайном порядке расставлены 20 учебников, причем 7 из них в переплете. Найти вероятность того, что два взятых учебника окажутся в переплете?

Вариант № 13

1. Библиотека состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги — по одному рублю и две книги — по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей.

2. Сколькими способами можно распределить 12 классных комнат под 12 учебных кабинетов?

3. В урне 10 красных, 18 синих и 5 зеленых шаров. Из урны вынимаются 4 шара. Найти вероятность того, что один шар будет красным и три синими?

Вариант № 14

1. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.

2. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений?

3. У филателиста есть 8 разных марок на космическую тему и 10 марок на спортивную тему. Сколькими способами он может наклеить 3 марки первого вида и 3 марки второго вида в альбом на 6 пронумерованных мест?

Вариант № 15

1. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость не есть дубль.

2. Число сочетаний из п элементов по 3 в пять раз меньше числа сочетаний из п+ 2 элементов по 4. Найдите п.

3. Что вероятнее угадать 6 номеров из 49 или 5 номеров из 36?

Вариант № 16

1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь одну окрашенную грань.

2. Сколькими способами можно из 15 рабочих создать бригады по 5 человек в каждой?

3. Что вероятнее получить при делении домино между 4 игроками – все «дубли» или же все кости с «шестерками»?

Вариант № 17

2. Сколько нужно взять элементов, чтобы число всех перестановок из этих элементов было меньше 200?

3. Что вероятнее при бросании двух монет – выпадение двух «решек» или «решки» и «герба»?

Вариант № 18

2. При 10 бросаниях монет выпал герб. Что вероятнее при следующем броске – выпадение решки или герба?

3. Парламентская комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти членов. Сколькими способами могут распределить между собой обязанности?

Вариант № 19

1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

2. Из мешка с 33 жетонами, на которых написаны буквы русского алфавита, извлекают 4 жетона, которые располагают в алфавитном порядке. Какова вероятность того, что при этом получится слово «винт»?

3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных с группы в 20 студентов?

Вариант № 20

1. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт».

2. В ящике с деталями оказалось 300 деталей 1 сорта, 200 деталей 2 сорта и 50 деталей 3 сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь1, 2 или 3 сорта?

3. Из мешка с 33 жетонами, на которых написаны буквы русского алфавита, извлекают 6 жетонов, которые располагают в алфавитном порядке. Какова вероятность того, что при этом получится слово «Москва»?

Вариант № 21

1. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос».

2. В урне 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар. Который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что этот шар также окажется белым.

3. Что вероятнее выбросить при метании двух костей – 7 очков или 8 очков?

Вариант № 22

1. В урне 12 красных, 15 синих и 7 зеленых шаров. Из урны вынимаются 7 шаров. Найти вероятность того, что три шара будут красными и четыре синими?

2. В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 без выигрышей. Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность, что из 4 билетов два окажутся выигрышными.

3. При броске игральной кости вычислите вероятности событий: «выпало четное число очков» и «выпало 5 очков»

Вариант № 23

1. В урне 12 красных, 18 синих и 7 зеленых шаров. Из урны вынимаются 7 шаров. Найти вероятность того, что два шара будут красными и четыре синими и один зеленый?

2. Сколько упорядоченных пар можно составить из 32 букв, если в каждой паре обе буквы различны?

3. При броске игральной кости вычислите вероятности событий: «число выпавших очков кратно трем» и «выпало 2 очка»

Вариант № 24

1. Из 25 экзаменационных билетов наудачу выбирается 4 (от 1 до 25). Какова вероятность того, что номер вытянутого билета есть число, кратное 3?

2. Энциклопедия состоит из 8 томов. Сколькими способами ее можно поставить на полке в беспорядке, т.е. так, чтобы тома не следовали один за другим в порядке их номеров?

3. На выпускном вечере 20 выпускников техникума обменялись фотокарточками. Сколько при этом было роздано фотокарточек?

Вариант № 25

1. Из 20 рабочих нужно выделить шестерых для работы на сторойучастке. Сколькими способами можно это сделать?

2. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторений цифр. Вяснить, сколько среди этих пятизначных чисел таких, которые не начинаются с 543.

3. В урне 10 шаров, из них 3 белых. Какова вероятность того, что из четырех наугад выбранных шаров ровно один будет белый? Какова вероятность, что белых шаров будет ровно два?

Контрольные вопросы

1. Что является предметом теории вероятностей?

2. Что такое «испытание»?

3. Что такое «событие»?

4. Что такое «случайное событие»?

5. Что такое «вероятность события»?

6. В чем заключается статистическое определение вероятности?

7. При каких условиях можно применять классическое определение вероятности?

8. Какова формулировка классического определения вероятности?

9. Приведите несколько примеров достоверных, невозможных и случайных событий.

10. Чему равна вероятность невозможного и достоверного событий?

11. Дайте определение суммы и произведения событий. Примеры.

12. Как понимают равенство двух событий? Примеры.

13. Какие события называют противоположными? Примеры.

14. Что обозначают слова “наугад”, ”произвольно”? Примеры.

15. Что такое перестановки? Число всех возможных перестановок?

16. Что такое размещение? Число всех возможных размещений?

17. Что такое сочетания? Число всех возможных сочетаний?

18. В чем заключается «правило суммы»?

19. В чем заключается «правило произведения»?

Практическая работа № 2

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 1576; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!