Уравнения плоскостей в пространстве общее, явное,

В векторной форме, параметрические. Вектор нормали. Формула расстояния

От точки до плоскости. Нахождение угла между плоскостями пространстве.

Уравнение плоскости:

1) Общее

, где

 

2) Явное

, где k₁ и k₂ – угловые коэффициенты.

3) В векторной форме

 

, где n – нормальный вектор плоскости, а

 

4) Параметрические:

Вектор нормали:

Вектор нормали к поверхности в данной точке — это единичный вектор, приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали.

Нормальный вектор – вектор перпендикулярный плоскости .

Формула расстояния от точки до плоскости:

Плоскость  и точка

 

Нахождение угла между плоскостями в пространстве:

Пусть даны две плоскости:

 и

 

Дифференцируемость функции нескольких переменных.

Дифференциал от функции нескольких переменных. Частные производные.

Дифференцируемость функции нескольких переменных:

Функция f дифференцируема, если существует главная линейная часть приращения, то есть существуют такие , что α – бесконечно малая по сравнению с длиной вектора .

 

 - частные производные

 

Дифференциал от функции нескольких переменных:

Частные производные:

Производная функции по какой-либо переменной.

Пример:

Уравнения прямых в пространстве общие, параметрические, канонические,

В векторной форме. Направляющий вектор.

Нахождение угла между прямыми, между прямой и плоскостью пространстве.

Уравнения прямых:

1) Общие

Прямую в пространстве можно задать так же, как линию пересечения двух плоскостей.

 

2) Канонические

, где  - направляющий вектор прямой.

 - точка прямой L (может быть любой).

 

3) Параметрические

 

4) В векторной форме

Пусть  - радиус вектор точки М₀(x₀, y₀, z₀) и  - направляющий вектор прямой.

Направляющий вектор:

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Нахождение угла между прямыми в пространстве:

Даны две прямые:

 и , где  и  направляющие векторы соответствующих прямых.

 

Нахождение угла между прямой и плоскостью пространстве:

 и прямая

 

 

Градиент и его свойство ортогональности. Формулы касательной прямой к кривой

В плоскости и касательной плоскости к поверхности в пространстве.

Вывод формул касательных к кривым 2-го порядка.

Определение:

Градиент – вектор функции, координаты которого равны значениям частных производных.

Свойство градиента:

Градиент перпендикулярен линии поверхности уровня. Строго говоря перпендикулярен не к линии поверхности, а к касательной.

Формула касательной к кривой в плоскости:

Формула касательной плоскости к поверхности в пространстве:

 

Вывод формулы для касательной к эллипсу:

 - уравнение эллипса.

Эллипс – линия уровня функции

В точке

Касательная возьмем  в точке

С-?

Вывод формулы для касательной к гиперболе:

 - уравнение эллипса.

Гипербола – линия уровня функции

В точке

Касательная возьмем  в точке

С-?

Вывод формулы для касательной к параболе:

 - уравнение эллипса.

Гипербола – линия уровня функции

Соответствует:

Пусть

В точке

С-?

 

---

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 174; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!